南京理工大学 2024年高等代数第0题

由于$A$与$B$合同，且$B$是对角矩阵，秩为2，正惯性指数为2，负惯性指数为0，因此$A$必须是对称矩阵（已满足），且秩为2，半正定。

计算$\det(A)$： $$\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot(2a\cdot1-1\cdot1)-a\cdot(a\cdot1-1\cdot1)+1\cdot(a\cdot1-2a\cdot1)$$ $$=(2a-1)-a(a-1)+(a-2a)=2a-1-a^2+a-a=-a^2+2a-1=-(a-1)^2.$$ 由于秩为2，$\det(A)=0$，解得$a=1$。

当$a=1$时，$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，第一行与第三行相同，秩为2。顺序主子式：一阶$1>0$，二阶$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1>0$，三阶为0，故$A$半正定，正惯性指数为2，与$B$一致。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx=x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。 配方： $$f=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2.$$ 验证展开后与原式一致。

令$y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2$，$y_3=x_3$，则$y=Px$，其中 $$P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 于是$f=y_1^2+y_2^2$。

由$f=y^T(P^{-1})^TAP^{-1}y$，得$(P^{-1})^TAP^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=B$。 计算$P^{-1}$： $$P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ 取$C=P^{-1}$，则$C^TAC=B$。

计算$C^TAC$： $$C^TAC=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=B.$$