南京理工大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为一个 4 阶方阵，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{4}=\alpha_{1}-\alpha_{2}$ ，求方程组 $\displaystyle A X=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ 的通解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简方程右端项
由已知条件，$\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2$，则 $\alpha_3 + \alpha_4 = (\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_1 - \alpha_2) = 2\alpha_1$。因此方程组 $AX = \alpha_3 + \alpha_4$ 等价于 $AX = 2\alpha_1$。
公式：$\alpha_3 + \alpha_4 = 2\alpha_1$
提示：注意向量加法运算，不要遗漏系数。
步骤 2/5
目标：判断方程组是否有解
由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3, \alpha_4$ 可由它们线性表示，故 $A$ 的列秩为2，$A$ 不是满秩矩阵。方程组有解当且仅当右端项 $2\alpha_1$ 属于 $A$ 的列空间。显然 $2\alpha_1$ 是 $A$ 的第一列的2倍，因此方程组有解。
提示：注意判断解的存在性：右端项必须在列空间中。
步骤 3/5
目标：求齐次方程组的基础解系
由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\alpha_4 = \alpha_1 - \alpha_2$，所以 $A$ 的列向量组的极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2$，故 $\mathrm{rank}(A)=2$。齐次方程组 $AX=0$ 的基础解系含有 $4-2=2$ 个向量。由 $\alpha_3 = \alpha_1+\alpha_2$ 得 $\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，即 $A(1,1,-1,0)^T=0$；由 $\alpha_4 = \alpha_1-\alpha_2$ 得 $\alpha_1-\alpha_2-\alpha_4=0$，即 $A(1,-1,0,-1)^T=0$。易验证 $(1,1,-1,0)^T$ 与 $(1,-1,0,-1)^T$ 线性无关，故它们构成齐次方程组的一个基础解系。
公式：$\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，$\alpha_1-\alpha_2-\alpha_4=0$
提示：注意基础解系中向量的个数等于未知数个数减去秩。
步骤 4/5
目标：求非齐次方程组的一个特解
观察 $AX=2\alpha_1$，显然 $X=(2,0,0,0)^T$ 是一个特解，因为 $A(2,0,0,0)^T = 2\alpha_1$。
公式：$A(2,0,0,0)^T = 2\alpha_1$
提示：特解不唯一，但找到一个简单的即可。
步骤 5/5
目标：写出通解
根据非齐次线性方程组解的结构，通解等于特解加上齐次方程组的通解。因此，原方程组的通解为：
$$X = \begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix} + k_1 \begin{pmatrix}1\\1\\-1\\0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad k_1, k_2 \in \mathbb{R}.$$
公式：$X = X_p + k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$
提示：注意通解中参数是任意实数，不要遗漏。
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