南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1．已知
$$
D=\left|\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 2 \\
2 & 5 & 8 \\
0 & 5 & 3
\end{array}\right|=-26 .
$$
则 $2 A_{31}-5 A_{32}+8 A_{33}=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解代数余子式的性质
代数余子式 $A_{ij}$ 只与元素的位置有关，与对应位置的元素值无关。因此，对于同一个行列式，不同行或列的元素对应的代数余子式是固定的。
提示：注意代数余子式与余子式的区别：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。
步骤 2/8
目标：写出原行列式按第三行展开的表达式
原行列式 $D$ 按第三行展开：
$$D = a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33} = 0 \cdot A_{31} + 5 \cdot A_{32} + 3 \cdot A_{33} = -26.$$
公式：行列式按行展开定理：$D = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$
提示：注意 $a_{31}=0$，所以 $A_{31}$ 的系数为0。
步骤 3/8
目标：构造新行列式
为了计算 $2A_{31} - 5A_{32} + 8A_{33}$，构造一个新行列式，其第三行元素替换为 $(2, -5, 8)$，而第一、二行与原行列式相同：
$$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \\ 2 & -5 & 8 \end{vmatrix}.$$
提示：新行列式的第三行元素就是所求表达式中 $A_{31}, A_{32}, A_{33}$ 的系数。
步骤 4/8
目标：按第三行展开新行列式
新行列式按第三行展开：
$$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \\ 2 & -5 & 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot A_{31} + (-5) \cdot A_{32} + 8 \cdot A_{33} = 2A_{31} - 5A_{32} + 8A_{33},$$ 其中 $A_{31}, A_{32}, A_{33}$ 是原行列式中第三行各元素的代数余子式。
公式：行列式按行展开定理
提示：注意新行列式的第三行元素改变，但代数余子式不变，因为代数余子式只依赖于元素的位置。
步骤 5/8
目标：计算新行列式的值
计算新行列式：
$$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \\ 2 & -5 & 8 \end{vmatrix}.$$ 按第一列展开：
$$= 0 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ -5 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 8 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式按列展开定理
提示：注意符号 $(-1)^{i+j}$ 的正确计算。
步骤 6/8
目标：计算各二阶行列式
计算三个二阶行列式：
$$\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ -5 & 8 \end{vmatrix} = 5\cdot8 - 8\cdot(-5) = 40 + 40 = 80,$$
$$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 8 \end{vmatrix} = (-1)\cdot8 - 2\cdot(-5) = -8 + 10 = 2,$$
$$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 8 \end{vmatrix} = (-1)\cdot8 - 2\cdot5 = -8 - 10 = -18.$$
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：注意符号，尤其是负数的乘法。
步骤 7/8
目标：代入并求和
代入展开式：
$$0 \cdot 80 + 2 \cdot (-1)^{3} \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot (-18) = 2 \cdot (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-18) = -4 - 36 = -40.$$
提示：注意 $(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1$，$(-1)^{3+1}=(-1)^4=1$。
步骤 8/8
目标：得出结果
因此，$2A_{31} - 5A_{32} + 8A_{33} = -40$。
提示：最终答案应填入空格。
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