南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2．若 5 阶矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=-1, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：回顾伴随矩阵的基本性质
对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A A^* = A^* A = |A| I_n$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：A A^* = |A| I_n
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 的元素是 $A$ 的代数余子式的转置。
步骤 2/7
目标：对方程两边取行列式
对等式 $A A^* = |A| I_n$ 两边取行列式，得到 $|A A^*| = | |A| I_n |$。
公式：|AB| = |A||B|
提示：行列式乘法性质：$|AB| = |A||B|$，注意矩阵乘法顺序。
步骤 3/7
目标：利用行列式乘法性质化简左边
左边 $|A A^*| = |A| |A^*|$。右边 $| |A| I_n |$ 是数量矩阵的行列式，等于 $|A|^n$，因为 $|k I_n| = k^n$。
公式：|k I_n| = k^n
提示：数量矩阵的行列式：对角元全为 $k$，其余为0，行列式为 $k^n$。
步骤 4/7
目标：得到关于 $|A^*|$ 的方程
因此有 $|A| |A^*| = |A|^n$。
公式：|A| |A^*| = |A|^n
提示：注意 $|A|$ 是数，可以约去，但需考虑 $|A|=0$ 的情况。
步骤 5/7
目标：讨论 $|A|$ 是否为零
由于题目给出 $|A| = -1 \neq 0$，所以可以两边同时除以 $|A|$，得到 $|A^*| = |A|^{n-1}$。
公式：|A^*| = |A|^{n-1} \quad (|A| \neq 0)
提示：如果 $|A|=0$，则 $|A^*|=0$，但本题不适用。
步骤 6/7
目标：代入具体数值
已知 $n=5$，$|A|=-1$，代入公式得 $|A^*| = (-1)^{5-1} = (-1)^4 = 1$。
提示：注意指数运算：$(-1)^4 = 1$，不要算错符号。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此 $\left|A^{*}\right| = 1$。
提示：最终答案是一个数值，不要漏写。
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