南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3．已知线性方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解，则 $a=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵的形式：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 & 3 \\ 1 & a & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：进行初等行变换（第一列消元）
将第一行乘以-2加到第二行，第一行乘以-1加到第三行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a & 1 \\ 0 & a-2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$$
公式：R_2 - 2R_1, R_3 - R_1
提示：注意第二行第三列元素为a，第三行第二列元素为a-2，不要混淆。
步骤 3/6
目标：继续消元（第二列消元）
将第二行乘以(a-2)加到第三行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a & 1 \\ 0 & 0 & (a-2)a-3 & (a-2)-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & a & 1 \\ 0 & 0 & a^2-2a-3 & a-3 \end{pmatrix}$$
公式：R_3 + (a-2)R_2
提示：计算第三行第三列时注意展开：$(a-2)a-3 = a^2-2a-3$；常数项：$(a-2)-1 = a-3$。
步骤 4/6
目标：分析无解条件
方程组无解当且仅当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即第三行系数全为零而常数项非零：
$$\begin{cases} a^2-2a-3 = 0 \\ a-3 \neq 0 \end{cases}$$
提示：注意无解条件是系数为零且常数非零，缺一不可。
步骤 5/6
目标：解方程求a
解二次方程 $a^2-2a-3=0$，因式分解得 $(a-3)(a+1)=0$，所以 $a=3$ 或 $a=-1$。结合 $a-3 \neq 0$，舍去 $a=3$，得 $a=-1$。
公式：a^2-2a-3=(a-3)(a+1)=0
提示：注意检查 $a=3$ 时，第三行系数和常数项均为0，此时方程组有无穷多解，不是无解。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，当 $a=-1$ 时，方程组无解。
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