南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A$ 为 2 阶矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为线性无关的 2 维列向量，$A \alpha_{1}=0, A \alpha_{2}=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，则 $A$ 的非零特征值为 $\_\_\_\_$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $A$ 是2阶矩阵，$\alpha_1, \alpha_2$ 是线性无关的2维列向量，且满足 $A\alpha_1 = 0$，$A\alpha_2 = 2\alpha_1 + \alpha_2$。
提示：注意 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，因此它们构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基。
步骤 2/6
目标：建立基下的矩阵表示
由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，可取它们为基。在此基下，$A$ 的矩阵表示 $B$ 满足：$A\alpha_1 = 0\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2$，$A\alpha_2 = 2\cdot\alpha_1 + 1\cdot\alpha_2$。因此 $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵表示：$A(\alpha_1, \alpha_2) = (\alpha_1, \alpha_2) B$
提示：注意矩阵 $B$ 的第一列对应 $A\alpha_1$ 的系数，第二列对应 $A\alpha_2$ 的系数。
步骤 3/6
目标：特征值不变性
矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，因此它们有相同的特征值。所以只需计算 $B$ 的特征值。
公式：相似矩阵有相同的特征多项式
提示：注意：基变换下矩阵相似，特征值不变。
步骤 4/6
目标：计算特征多项式
计算 $B$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - B) = \det\begin{pmatrix} \lambda & -2 \\ 0 & \lambda-1 \end{pmatrix} = \lambda(\lambda-1)$。
公式：$\det(\lambda I - B) = \lambda(\lambda-1)$
提示：行列式计算时注意上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积。
步骤 5/6
目标：求解特征值
令特征多项式等于零：$\lambda(\lambda-1)=0$，解得 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$。
提示：特征值包括零和非零，题目要求非零特征值。
步骤 6/6
目标：得出答案
非零特征值为 $1$。
提示：注意不要遗漏非零条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。