南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5．秩为 3 的 5 元二次型只有 $\_\_\_\_$中规模型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解二次型规范型的定义
二次型的规范型是指通过非退化线性变换将二次型化为平方和的形式，且系数为1或-1。对于$n$元二次型，规范型由秩$r$和符号差$s$决定，其中符号差$s = p - q$，$p$为正平方项个数，$q$为负平方项个数，且$p+q=r$。
提示：注意规范型中系数只能是1或-1，不能有其他非零常数。
步骤 2/4
目标：确定秩为3时可能的符号差
秩$r=3$，即$p+q=3$。符号差$s = p - q$，取值范围为$p$从0到3，$q=3-p$，则$s = p - (3-p) = 2p-3$。$p$可取0,1,2,3，对应$s$分别为-3,-1,1,3。因此共有4种可能的符号差。
公式：$s = 2p-3$
提示：注意$p$和$q$是非负整数，且$p+q=r$。
步骤 3/4
目标：列出所有可能的规范型
根据符号差$s$，规范型中正平方项个数$p = (r+s)/2$，负平方项个数$q = (r-s)/2$。
- 当$s=3$时，$p=3, q=0$，规范型为$y_1^2+y_2^2+y_3^2$。
- 当$s=1$时，$p=2, q=1$，规范型为$y_1^2+y_2^2-y_3^2$。
- 当$s=-1$时，$p=1, q=2$，规范型为$y_1^2-y_2^2-y_3^2$。
- 当$s=-3$时，$p=0, q=3$，规范型为$-y_1^2-y_2^2-y_3^2$。
公式：$p = \frac{r+s}{2}, \quad q = \frac{r-s}{2}$
提示：注意规范型中变量下标通常用$y_i$表示，且顺序无关紧要。
步骤 4/4
目标：确认规范型个数
由于符号差有4种可能，因此秩为3的5元二次型共有4种中规模型。注意题目中“5元”表示变量个数为5，但规范型只涉及秩个变量，其余变量系数为0，因此规范型中只出现3个平方项。
提示：不要被“5元”迷惑，规范型中非零平方项个数等于秩，与变量个数无关。
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