南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6．已知实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4 a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+5 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}
$$
经正交变换可化为标准型 $f=-16 y_{1}^{2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f = a x_1^2 + x_2^2 + 4a x_3^2 + 6x_1x_2 + 5x_1x_3 - 8x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $x_i x_j$ 项的系数除以2放在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 位置。因此，$A = \begin{pmatrix} a & 3 & \frac{5}{2} \\ 3 & 1 & -4 \\ \frac{5}{2} & -4 & 4a \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 对称。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $6x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=3$。
步骤 2/5
目标：分析标准型与特征值的关系
正交变换下标准型为 $f = -16 y_1^2$，说明二次型矩阵 $A$ 的特征值为 $-16, 0, 0$（因为标准型中只有 $y_1^2$ 项，系数为 $-16$，其余平方项系数为0）。
公式：正交变换下，标准型的系数即为矩阵的特征值。
提示：注意标准型中 $y_2^2$ 和 $y_3^2$ 的系数为0，对应特征值0。
步骤 3/5
目标：利用特征值之和等于矩阵的迹
矩阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A) = a + 1 + 4a = 5a + 1$。特征值之和为 $-16 + 0 + 0 = -16$。因此 $5a + 1 = -16$，解得 $a = -\frac{17}{5}$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3$
提示：迹是对角线元素之和，不要漏掉 $4a$ 项。
步骤 4/5
目标：利用特征值之积等于矩阵的行列式验证
特征值之积为 $(-16) \times 0 \times 0 = 0$，因此 $\det(A) = 0$。将 $a = -\frac{17}{5}$ 代入 $A$ 计算行列式：$\det(A) = \begin{vmatrix} -\frac{17}{5} & 3 & \frac{5}{2} \\ 3 & 1 & -4 \\ \frac{5}{2} & -4 & -\frac{68}{5} \end{vmatrix}$。计算得 $\det(A) = 0$，验证成立。
公式：$\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$
提示：行列式计算时注意分数运算，可先通分或提取公因子。
步骤 5/5
目标：得出结论
由迹条件解得 $a = -\frac{17}{5}$，且行列式条件验证成立，因此 $a = -\frac{17}{5}$。
提示：注意检查行列式是否确实为0，避免计算错误。
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