南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 仅有零解得充要条件是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与基本概念
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$X$ 是 $n \times 1$ 列向量。齐次线性方程组 $AX=0$ 仅有零解，意味着只有 $X=0$ 满足方程，即不存在非零向量 $X$ 使得 $AX=0$。
提示：注意区分齐次方程组与非齐次方程组，齐次方程组总有零解，仅有零解意味着唯一解。
步骤 2/6
目标：将方程组表示为列向量的线性组合
将矩阵 $A$ 按列分块：$A = [\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n]$，其中 $\alpha_i$ 是 $m \times 1$ 列向量。则 $AX = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n = 0$。
公式：$AX = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n\alpha_n$
提示：注意列向量的个数等于未知数的个数 $n$。
步骤 3/6
目标：必要性证明：由仅有零解推出列向量线性无关
假设 $AX=0$ 仅有零解。若存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 使得 $k_1\alpha_1 + \dots + k_n\alpha_n = 0$，则取 $X = (k_1, \dots, k_n)^T$ 为非零解，矛盾。因此 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关。
提示：线性无关的定义：只有当所有系数为零时线性组合才为零。
步骤 4/6
目标：由列向量线性无关推出秩为n
若 $A$ 的列向量线性无关，则 $A$ 的列秩等于 $n$。由于矩阵的秩等于列秩，故 $\operatorname{rank}(A) = n$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \text{列秩} = n$
提示：注意 $n$ 是列数，秩不能超过行数 $m$ 和列数 $n$ 的最小值，但此处 $n \leq m$ 是隐含条件？实际上 $n$ 可以大于 $m$，但若 $n > m$，则列向量必然线性相关，所以仅有零解时必有 $n \leq m$。
步骤 5/6
目标：充分性证明：由秩为n推出仅有零解
假设 $\operatorname{rank}(A) = n$，则 $A$ 的列向量线性无关。若存在非零向量 $X$ 使得 $AX=0$，则 $x_1\alpha_1 + \dots + x_n\alpha_n = 0$ 且系数不全为零，与列向量线性无关矛盾。故 $AX=0$ 仅有零解。
提示：充分性证明中，注意非零解的存在会导致线性相关。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综上所述，齐次线性方程组 $AX=0$ 仅有零解的充要条件是 $A$ 的列向量线性无关，即 $\operatorname{rank}(A) = n$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = n$
提示：注意 $n$ 是未知数的个数，也是矩阵的列数。
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