南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．$f(x)=4 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+x, g(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+x-2$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首一最大公因式 $=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定被除式和除式
设 $f(x)=4x^4+2x^3+2x^2+x$，$g(x)=2x^3-4x^2+x-2$。由于 $f(x)$ 次数高于 $g(x)$，用 $f(x)$ 除以 $g(x)$。
提示：注意多项式除法中，按降幂排列，缺项补0。
步骤 2/5
目标：第一次除法求余式
计算 $f(x) \div g(x)$：商的首项为 $4x^4 \div 2x^3 = 2x$，乘 $g(x)$ 得 $2x(2x^3-4x^2+x-2)=4x^4-8x^3+2x^2-4x$。相减：$(4x^4+2x^3+2x^2+x)-(4x^4-8x^3+2x^2-4x)=10x^3+5x$。所以余式 $r_1(x)=10x^3+5x$。
公式：多项式除法：$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，其中 $\deg r < \deg g$
提示：相减时注意符号，避免漏项。
步骤 3/5
目标：第二次除法求余式
用 $g(x)$ 除以 $r_1(x)$：$g(x)=2x^3-4x^2+x-2$，$r_1(x)=10x^3+5x$。商的首项为 $2x^3 \div 10x^3 = \frac{1}{5}$，乘 $r_1(x)$ 得 $\frac{1}{5}(10x^3+5x)=2x^3+x$。相减：$(2x^3-4x^2+x-2)-(2x^3+x)=-4x^2-2$。所以余式 $r_2(x)=-4x^2-2$。
提示：当除式系数不为1时，商可能为分数，注意分数运算。
步骤 4/5
目标：第三次除法求余式
用 $r_1(x)$ 除以 $r_2(x)$：$r_1(x)=10x^3+5x$，$r_2(x)=-4x^2-2$。商的首项为 $10x^3 \div (-4x^2) = -\frac{5}{2}x$，乘 $r_2(x)$ 得 $-\frac{5}{2}x(-4x^2-2)=10x^3+5x$。相减得0，余式为0。
提示：注意除式系数为负时，商的符号。
步骤 5/5
目标：确定最大公因式并首一化
由于余式为0，$r_2(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的一个最大公因式（非零常数倍）。$r_2(x)=-4x^2-2=-2(2x^2+1)$，提取常数因子 $-2$，首一化得 $2x^2+1$。因此，首一最大公因式为 $2x^2+1$。
公式：若 $r_k(x)=0$，则 $r_{k-1}(x)$ 是最大公因式
提示：最大公因式需化为首一多项式，即最高次项系数为1。
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