南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
七．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间，证明：$V$ 的任一非平凡子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定子空间维数并取基
设 $W$ 是 $V$ 的任一非平凡子空间，即 $W \neq \{0\}$ 且 $W \neq V$。设 $\dim W = k$，其中 $1 \leq k \leq n-1$。取 $W$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k$，并将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_{k+1}, \dots, \beta_n$。
提示：注意非平凡子空间意味着维数严格介于0和n之间，即 $1 \leq k \leq n-1$。
步骤 2/5
目标：构造n-1维子空间
对于每个 $j = k+1, \dots, n$，考虑子空间 $W_j = \operatorname{span}\{\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_{k+1}, \dots, \hat{\beta}_j, \dots, \beta_n\}$，即由除了 $\beta_j$ 之外的所有基向量张成的子空间。显然 $\dim W_j = n-1$，且 $W \subseteq W_j$。
提示：符号 $\hat{\beta}_j$ 表示去掉该向量，注意每个 $W_j$ 的维数都是 $n-1$。
步骤 3/5
目标：证明交包含W
显然 $W \subseteq \bigcap_{j=k+1}^n W_j$，因为每个 $W_j$ 都包含 $W$。
提示：这一步是直接的，因为每个 $W_j$ 都包含 $W$ 的基。
步骤 4/5
目标：证明交包含于W
任取 $x \in \bigcap_{j=k+1}^n W_j$，则 $x$ 可唯一表示为 $x = \sum_{i=1}^k a_i \alpha_i + \sum_{j=k+1}^n b_j \beta_j$。由于 $x \in W_j$ 对每个 $j$ 成立，而 $W_j$ 中不含 $\beta_j$ 分量，因此 $b_j = 0$ 对所有 $j$ 成立。于是 $x = \sum_{i=1}^k a_i \alpha_i \in W$。所以 $\bigcap_{j=k+1}^n W_j \subseteq W$。
提示：注意 $x$ 在 $W_j$ 中意味着其 $\beta_j$ 系数必须为0，因为 $W_j$ 由除 $\beta_j$ 外的基生成。
步骤 5/5
目标：得出交等于W
由 $W \subseteq \bigcap_{j=k+1}^n W_j$ 和 $\bigcap_{j=k+1}^n W_j \subseteq W$ 得 $\bigcap_{j=k+1}^n W_j = W$。因此 $W$ 是 $n-1$ 维子空间 $W_{k+1}, \dots, W_n$ 的交。
提示：注意交的个数为 $n-k$ 个，当 $k=n-1$ 时只有一个子空间。
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