南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三．已知平面上三条不同直线的方程分别为
$$
\begin{aligned}
& l_{1}: a x+b y+c=0 \\
& l_{2}: b x+c y+a=0 \\
& l_{3}: c x+a y+b=0
\end{aligned}
$$
试证三条直线相交于一点的充分必要条件是 $\displaystyle a+b+c=0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：必要性：假设三线共点，建立方程组
假设三条直线交于一点 $(x_0, y_0)$，则满足方程组：
$$
\begin{cases}
a x_0 + b y_0 + c = 0 \\
b x_0 + c y_0 + a = 0 \\
c x_0 + a y_0 + b = 0
\end{cases}
$$
提示：注意三个方程同时成立，这是共点的定义。
步骤 2/7
目标：必要性：三式相加得到关系式
将三个方程相加得：
$$
(a+b+c)x_0 + (a+b+c)y_0 + (a+b+c) = (a+b+c)(x_0+y_0+1)=0
$$
因此 $a+b+c=0$ 或 $x_0+y_0+1=0$。
公式：(a+b+c)(x_0+y_0+1)=0
提示：不要漏掉 $x_0+y_0+1=0$ 的情况，需要进一步排除。
步骤 3/7
目标：必要性：排除 $x_0+y_0+1=0$ 的情况
若 $x_0+y_0+1=0$，则 $y_0 = -x_0-1$。代入前两个方程：
$$
\begin{cases}
a x_0 + b(-x_0-1) + c = (a-b)x_0 - b + c = 0 \\
b x_0 + c(-x_0-1) + a = (b-c)x_0 - c + a = 0
\end{cases}
$$
两式相减得：
$$
(a-2b+c)x_0 + (2c - a - b) = 0
$$
由于三条直线不同，系数不成比例，但此条件不一定推出 $a+b+c=0$。然而，考虑增广矩阵的行列式可证。
提示：直接排除 $x_0+y_0+1=0$ 较复杂，可用行列式法统一处理。
步骤 4/7
目标：必要性：利用线性方程组有解的条件
将方程组视为关于 $(x_0, y_0)$ 的线性方程组，增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
a & b & -c \\
b & c & -a \\
c & a & -b
\end{pmatrix}
$$
计算其行列式：
$$
\det = - (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)
$$
由于三条直线不同，$a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca \neq 0$（否则 $a=b=c$，三线重合或平行）。方程组有解时，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，故行列式为零，从而 $a+b+c=0$。
公式：\det = - (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)
提示：注意系数矩阵的秩至少为2，增广矩阵行列式为零是方程组有解的必要条件。
步骤 5/7
目标：充分性：假设 $a+b+c=0$，代入直线方程
若 $a+b+c=0$，则 $c = -a-b$。代入三条直线方程：
$$
\begin{aligned}
l_1 &: a x + b y - a - b = 0 \\
l_2 &: b x + (-a-b) y + a = 0 \\
l_3 &: (-a-b) x + a y + b = 0
\end{aligned}
$$
即
$$
\begin{aligned}
l_1 &: a(x-1) + b(y-1) = 0 \\
l_2 &: b(x-1) + (-a-b)(y-1) = 0 \\
l_3 &: (-a-b)(x-1) + a(y-1) = 0
\end{aligned}
$$
公式：c = -a-b
提示：代入后注意提取公因式，化为关于 $(x-1)$ 和 $(y-1)$ 的形式。
步骤 6/7
目标：充分性：令 $u=x-1$, $v=y-1$，化为齐次方程组
令 $u = x-1$, $v = y-1$，则方程组化为：
$$
\begin{cases}
a u + b v = 0 \\
b u - (a+b) v = 0 \\
-(a+b) u + a v = 0
\end{cases}
$$
由于 $a+b+c=0$ 且三条直线不同，$a,b$ 不全为零。该齐次线性方程组的系数矩阵秩为2，有非零解？实际上，$(u,v)=(0,0)$ 是解，且是唯一解（因为秩为2，只有零解）。因此 $x=1, y=1$ 满足所有方程，即三线交于 $(1,1)$。
提示：注意齐次方程组只有零解，说明交点唯一。
步骤 7/7
目标：结论：总结充要条件
综上，必要性：若三线共点，则 $a+b+c=0$；充分性：若 $a+b+c=0$，则三线交于 $(1,1)$。因此，三条直线相交于一点的充分必要条件是 $a+b+c=0$。
提示：注意题目中三条直线不同，否则条件可能不成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。