南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle A, B$ 均为 2 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}, B^{*}$ 分别为 $\displaystyle A, B$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle |A|=-2,|B|=-4$ ，请给出分块矩阵
$$
\left(\begin{array}{ll}
O & A \\
B & O
\end{array}\right)
$$
的伴随矩阵（用 $\displaystyle A^{*}, B^{*}$ 表示）．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设矩阵并求行列式
设 $C = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，则 $C$ 是 $4 \times 4$ 矩阵。利用分块矩阵的行列式公式：$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{2 \times 2} |A| |B| = (-1)^4 (-2)(-4) = 8$。由于 $|C| = 8 \neq 0$，$C$ 可逆。
公式：$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| |B|$，其中 $A$ 为 $m \times m$，$B$ 为 $n \times n$。
提示：注意分块行列式公式中符号因子 $(-1)^{mn}$，这里 $m=n=2$，所以 $(-1)^4=1$。
步骤 2/6
目标：求逆矩阵的分块形式
设 $C^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，其中 $X,Y,Z,W$ 均为 $2 \times 2$ 矩阵。由 $C C^{-1} = I$ 得：
$$
\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A Z & A W \\ B X & B Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & O \\ O & I_2 \end{pmatrix}.
$$
因此 $A Z = I_2$，$A W = O$，$B X = O$，$B Y = I_2$。
公式：分块矩阵乘法规则。
提示：注意分块矩阵乘法时，子块顺序不能错。
步骤 3/6
目标：解出逆矩阵的子块
由于 $|A| \neq 0$，$|B| \neq 0$，$A$ 和 $B$ 可逆。由 $A Z = I_2$ 得 $Z = A^{-1}$；由 $A W = O$ 且 $A$ 可逆得 $W = O$；由 $B X = O$ 且 $B$ 可逆得 $X = O$；由 $B Y = I_2$ 得 $Y = B^{-1}$。所以
$$
C^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}.
$$
公式：若 $A$ 可逆，则 $AX = I \Rightarrow X = A^{-1}$，$AX = O \Rightarrow X = O$。
提示：注意 $A$ 和 $B$ 可逆是解方程的关键。
步骤 4/6
目标：利用伴随矩阵与逆矩阵关系
伴随矩阵满足 $C^* = |C| C^{-1}$（当 $C$ 可逆时）。代入 $|C| = 8$ 和 $C^{-1}$ 得：
$$
C^* = 8 \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} O & 8 B^{-1} \\ 8 A^{-1} & O \end{pmatrix}.
$$
公式：$A^* = |A| A^{-1}$（$A$ 可逆时）。
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^* = |A| A^{-1}$，不要混淆。
步骤 5/6
目标：用伴随矩阵表示逆矩阵
由 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$，$B^{-1} = \frac{B^*}{|B|}$，且 $|A| = -2$，$|B| = -4$，得：
$$
8 A^{-1} = 8 \cdot \frac{A^*}{-2} = -4 A^*,\quad 8 B^{-1} = 8 \cdot \frac{B^*}{-4} = -2 B^*.
$$
公式：$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$。
提示：注意符号：$|A|=-2$，代入时不要丢掉负号。
步骤 6/6
目标：得到最终伴随矩阵
因此
$$
C^* = \begin{pmatrix} O & -2 B^* \\ -4 A^* & O \end{pmatrix}.
$$
这就是所求的分块矩阵的伴随矩阵。
公式：无。
提示：最终结果中 $A^*$ 和 $B^*$ 的位置不要写反。
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