南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
五．求 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,0), \alpha_{2}=(0,1,0), \alpha_{3}=(1,0,-1)$ 的对偶基 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, f_{3}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解对偶基的定义
对偶基 $f_1, f_2, f_3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的线性函数，满足 $f_i(\alpha_j) = \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克符号。即 $f_i$ 在基向量 $\alpha_j$ 上的取值为1当 $i=j$，否则为0。
公式：f_i(\alpha_j) = \delta_{ij}
提示：注意对偶基是线性函数，不是向量。
步骤 2/8
目标：设定线性函数的一般形式
设 $f_i$ 在标准基下的坐标向量为 $\beta_i = (a_i, b_i, c_i)$，则 $f_i(x, y, z) = a_i x + b_i y + c_i z$。这是因为 $\mathbb{R}^3$ 上的线性函数可以表示为与某个向量的内积。
公式：f_i(x, y, z) = a_i x + b_i y + c_i z
提示：线性函数在标准基下的表示就是系数向量。
步骤 3/8
目标：建立方程组求解 $f_1$
由 $f_1(\alpha_1)=1$ 得 $a_1 \cdot 1 + b_1 \cdot (-1) + c_1 \cdot 0 = a_1 - b_1 = 1$。
由 $f_1(\alpha_2)=0$ 得 $a_1 \cdot 0 + b_1 \cdot 1 + c_1 \cdot 0 = b_1 = 0$。
由 $f_1(\alpha_3)=0$ 得 $a_1 \cdot 1 + b_1 \cdot 0 + c_1 \cdot (-1) = a_1 - c_1 = 0$。
解得 $b_1=0$, $a_1=1$, $c_1=1$。
提示：代入基向量坐标时注意符号。
步骤 4/8
目标：写出 $f_1$ 的表达式
因此 $f_1(x, y, z) = 1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z = x + z$。
公式：f_1(x, y, z) = x + z
提示：检查是否满足 $f_1(\alpha_1)=1$, $f_1(\alpha_2)=0$, $f_1(\alpha_3)=0$。
步骤 5/8
目标：建立方程组求解 $f_2$
由 $f_2(\alpha_1)=0$ 得 $a_2 - b_2 = 0$。
由 $f_2(\alpha_2)=1$ 得 $b_2 = 1$。
由 $f_2(\alpha_3)=0$ 得 $a_2 - c_2 = 0$。
解得 $b_2=1$, $a_2=1$, $c_2=1$。
提示：注意 $f_2(\alpha_2)=1$ 而不是0。
步骤 6/8
目标：写出 $f_2$ 的表达式
因此 $f_2(x, y, z) = 1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z = x + y + z$。
公式：f_2(x, y, z) = x + y + z
提示：检查是否满足 $f_2(\alpha_1)=0$, $f_2(\alpha_2)=1$, $f_2(\alpha_3)=0$。
步骤 7/8
目标：建立方程组求解 $f_3$
由 $f_3(\alpha_1)=0$ 得 $a_3 - b_3 = 0$。
由 $f_3(\alpha_2)=0$ 得 $b_3 = 0$。
由 $f_3(\alpha_3)=1$ 得 $a_3 - c_3 = 1$。
解得 $b_3=0$, $a_3=1$, $c_3=0$。
提示：注意 $f_3(\alpha_3)=1$。
步骤 8/8
目标：写出 $f_3$ 的表达式并总结
因此 $f_3(x, y, z) = 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = x$。
所以对偶基为：
$f_1(x, y, z) = x + z$,
$f_2(x, y, z) = x + y + z$,
$f_3(x, y, z) = x$。
提示：验证 $f_i(\alpha_j)=\delta_{ij}$ 是否全部成立。
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