南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，它在 9 个整数点处取值均为 8 ，证明：$\displaystyle f(x)$ 无整数根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助多项式
设 $f(x)$ 是整系数多项式，且在9个不同的整数点 $a_1, a_2, \dots, a_9$ 处均有 $f(a_i)=8$。令 $g(x)=f(x)-8$，则 $g(x)$ 也是整系数多项式，且 $g(a_i)=0$，即 $a_i$ 是 $g(x)$ 的根。
公式：g(x) = f(x) - 8
提示：注意 $g(x)$ 的次数可能低于9，但仍有9个不同的整数根，因此 $g(x)$ 的次数至少为9。
步骤 2/6
目标：分解多项式
由于 $g(x)$ 有9个不同的整数根 $a_1, a_2, \dots, a_9$，故可分解为 $g(x)=h(x)\prod_{i=1}^9 (x-a_i)$，其中 $h(x)$ 是整系数多项式（因为 $g(x)$ 是整系数，且首项系数为整数，由因式定理和整系数多项式的性质可知 $h(x)$ 也是整系数）。
公式：g(x) = h(x) \prod_{i=1}^9 (x-a_i)
提示：确保 $h(x)$ 是整系数多项式，这需要用到整系数多项式的因式分解性质。
步骤 3/6
目标：假设存在整数根
假设 $f(x)$ 有整数根 $m$，则 $f(m)=0$，从而 $g(m)=f(m)-8=-8$。
公式：g(m) = f(m) - 8 = -8
提示：注意 $m$ 是整数根，但 $m$ 不能等于任何 $a_i$，否则 $f(m)=8$ 矛盾。
步骤 4/6
目标：代入分解式
将 $m$ 代入 $g(x)$ 的分解式得 $g(m)=h(m)\prod_{i=1}^9 (m-a_i)=-8$。由于 $h(m)$ 是整数，且每个因子 $(m-a_i)$ 都是非零整数（因为 $m \neq a_i$），所以乘积是9个不同整数的乘积。
公式：h(m) \prod_{i=1}^9 (m-a_i) = -8
提示：注意 $m-a_i$ 互不相同，且均不为0。
步骤 5/6
目标：估计乘积绝对值
9个不同整数的乘积的绝对值至少为 $1\cdot2\cdot\cdots\cdot9=9! = 362880$（因为绝对值最小的9个不同非零整数是 $\pm1, \pm2, \dots, \pm4, \pm5$ 等，但乘积绝对值最小是 $1\times2\times\cdots\times9$ 或类似排列，实际上最小可能为 $1\cdot2\cdot\cdots\cdot9$ 或 $(-1)\cdot1\cdot2\cdot\cdots\cdot8$ 等，但绝对值至少为 $9!$）。因此 $\left|\prod_{i=1}^9 (m-a_i)\right| \ge 9! = 362880$。
公式：|\prod_{i=1}^9 (m-a_i)| \ge 9! = 362880
提示：注意9个不同整数乘积绝对值的最小值问题，考虑正负号，但绝对值至少为 $9!$。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
于是 $|g(m)| = |h(m)| \cdot \left|\prod_{i=1}^9 (m-a_i)\right| \ge |h(m)| \cdot 362880$。但 $|g(m)| = 8$，而 $|h(m)|$ 是正整数（因为 $h(m)$ 是整数且不为0，否则 $g(m)=0$ 矛盾），所以 $|g(m)| \ge 362880$，与 $|g(m)|=8$ 矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 无整数根。
公式：|g(m)| \ge 362880 > 8
提示：注意 $h(m)$ 不能为0，否则 $g(m)=0$ 与 $g(m)=-8$ 矛盾。
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