南京理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $\displaystyle A, B$ 是同阶正交阵，$\displaystyle |A|=-|B|$ ，证明：$\displaystyle A+B$ 是奇异矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正交矩阵性质化简行列式
设 $A, B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|A| = -|B|$。由于 $A$ 正交，有 $A^T A = I$，且 $|A| = \pm 1$，同理 $|B| = \pm 1$。由条件 $|A| = -|B|$ 知 $|A|$ 与 $|B|$ 异号。考虑 $\det(A+B)$，利用行列式乘法性质：$\det(A+B) = \det(A) \det(I + A^{-1}B) = \det(A) \det(I + A^T B)$。
公式：\det(A+B) = \det(A) \det(I + A^{-1}B)
提示：注意 $A^{-1} = A^T$ 仅当 $A$ 正交时成立。
步骤 2/5
目标：引入新矩阵并证明其正交性
令 $C = A^T B$，则 $C$ 也是正交矩阵，因为 $C^T C = (A^T B)^T (A^T B) = B^T A A^T B = B^T B = I$。且 $\det(C) = \det(A^T) \det(B) = \det(A) \det(B) = |A| \cdot |B| = -|A|^2 = -1$（因为 $|A| = \pm 1$，$|A|^2 = 1$）。于是问题转化为证明 $\det(I + C) = 0$，其中 $C$ 是正交矩阵且 $\det(C) = -1$。
公式：C = A^T B, \quad \det(C) = -1
提示：注意 $\det(A^T) = \det(A)$，且 $|A|^2 = 1$。
步骤 3/5
目标：分析正交矩阵的特征值性质
由于 $C$ 是正交矩阵，其特征值均为模为1的复数，且成对共轭出现。又 $\det(C) = -1$，故 $C$ 的特征值中 $-1$ 的代数重数为奇数（因为所有特征值的乘积为 $-1$）。特别地，$-1$ 是 $C$ 的一个特征值。
公式：\det(C) = \prod \lambda_i = -1
提示：正交矩阵的特征值模为1，且实特征值只能是 $\pm 1$。
步骤 4/5
目标：构造齐次线性方程组的非零解
设 $\lambda = -1$ 是 $C$ 的特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x} \neq 0$，则 $C \mathbf{x} = -\mathbf{x}$。于是 $(I + C) \mathbf{x} = \mathbf{x} + C \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x} = 0$，所以 $\mathbf{x}$ 是齐次线性方程组 $(I + C) \mathbf{x} = 0$ 的非零解。
公式：(I + C) \mathbf{x} = 0
提示：特征向量非零，因此方程组有非零解。
步骤 5/5
目标：得出矩阵奇异的结论
由于 $(I + C) \mathbf{x} = 0$ 有非零解，故 $I + C$ 奇异，即 $\det(I + C) = 0$。因此 $\det(A + B) = \det(A) \cdot 0 = 0$，即 $A + B$ 是奇异矩阵。
公式：\det(A+B) = 0
提示：注意 $\det(A) \neq 0$，但乘以0后结果为0。
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