南京理工大学 2025年高等代数第0题

已知 $A$ 是3阶实对称矩阵，各行元素之和均为2，即 $A \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，所以 $\lambda_1=2$ 是特征值，对应的特征向量为 $\xi_1 = (1,1,1)^T$。

已知 $\alpha_1=(1,0,-1)^T$ 和 $\alpha_2=(2,-1,-1)^T$ 是 $AX=0$ 的解，即 $A\alpha_1=0$，$A\alpha_2=0$，所以 $\lambda_2=0$ 是特征值，且 $\alpha_1,\alpha_2$ 是对应于0的特征向量。由于 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关（不成比例），所以0的特征值至少是二重。

由于 $A$ 实对称，不同特征值对应的特征向量正交。检查 $\xi_1$ 与 $\alpha_1,\alpha_2$ 的内积：$\xi_1^T\alpha_1=1+0-1=0$，$\xi_1^T\alpha_2=2-1-1=0$，正交成立。所以特征值为：$\lambda_1=2$（单重），$\lambda_2=0$（二重）。

对应于2的特征向量为 $k(1,1,1)^T$，$k\neq0$；对应于0的特征向量为 $\alpha_1,\alpha_2$ 的任意非零线性组合。

对于特征值0，有两个线性无关的特征向量 $\alpha_1,\alpha_2$，需正交化。取 $\beta_1 = \alpha_1 = (1,0,-1)^T$。计算 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\alpha_2^T\beta_1}{\beta_1^T\beta_1} \beta_1$。$\alpha_2^T\beta_1 = 2\cdot1 + (-1)\cdot0 + (-1)\cdot(-1) = 3$，$\beta_1^T\beta_1 = 1+0+1=2$，所以 $\beta_2 = (2,-1,-1)^T - \frac{3}{2}(1,0,-1)^T = (\frac{1}{2}, -1, \frac{1}{2})^T$。为方便，取 $\beta_2 = (1,-2,1)^T$（乘以2）。

将三个特征向量单位化：$\xi_1 = (1,1,1)^T$，模长 $\sqrt{3}$，单位化 $q_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。$\beta_1 = (1,0,-1)^T$，模长 $\sqrt{2}$，单位化 $q_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$。$\beta_2 = (1,-2,1)^T$，模长 $\sqrt{6}$，单位化 $q_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)^T$。

正交矩阵 $Q = (q_1, q_2, q_3)$，即 $$ Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} $$ 对角矩阵 $\Lambda = \operatorname{diag}(2,0,0)$。满足 $Q^T A Q = \Lambda$。