南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．多项式 $x^{n}+2026=a_{0}+a_{1}(x+1)+\cdots+a_{n}(x+1)^{n}$ ，则 $a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件
已知多项式 $x^{n}+2026$ 可以表示为 $(x+1)$ 的多项式：$x^{n}+2026 = a_{0}+a_{1}(x+1)+\cdots+a_{n}(x+1)^{n}$。我们需要求系数和 $a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}$。
提示：注意等式右边是 $(x+1)$ 的幂次展开，系数 $a_i$ 是常数。
步骤 2/5
目标：寻找求系数和的方法
要求 $a_0+a_1+\cdots+a_n$，通常令 $x$ 取某个特殊值，使得 $(x+1)=1$，这样右边变为 $a_0+a_1+\cdots+a_n$。令 $x=0$ 时，$(x+1)=1$，右边即为 $a_0+a_1+\cdots+a_n$。
公式：若 $f(x)=a_0+a_1(x+1)+\cdots+a_n(x+1)^n$，则 $f(0)=a_0+a_1+\cdots+a_n$。
提示：注意不要令 $x=-1$，因为那样右边只剩 $a_0$，不是系数和。
步骤 3/5
目标：代入 $x=0$
将 $x=0$ 代入等式左边：$0^{n}+2026 = 0+2026 = 2026$。代入右边：$a_0 + a_1(0+1) + \cdots + a_n(0+1)^n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n$。
公式：$0^n = 0$（当 $n>0$ 时），$0^0$ 未定义，但题目中 $n$ 应为正整数，故 $0^n=0$。
提示：注意 $0^n$ 当 $n=0$ 时无意义，但多项式次数为 $n$，通常 $n\ge 1$。
步骤 4/5
目标：建立等式
由代入结果得：$2026 = a_0 + a_1 + \cdots + a_n$。因此系数和即为 $2026$。
提示：注意等式两边相等，直接得出结果。
步骤 5/5
目标：得出结论
所以 $a_0 + a_1 + \cdots + a_n = 2026$。
提示：无需进一步计算。
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