南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．三条直线 $a_{i} x+b_{i} y+c_{i}=0$ 满足 $a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \neq 0$ ，记 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, a_{2}\right), \beta=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \gamma=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$ ，则三条直线相交于一点的充要条件是 $\_\_\_\_$ ．
A．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关．
B．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，$\alpha, \beta$ 线性无关．
C．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关．
D．$\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，且任意两个都线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与符号设定
三条直线方程分别为 $a_i x + b_i y + c_i = 0$，其中 $i=1,2,3$，且 $a_i^2+b_i^2 \neq 0$（即每条直线都是非退化的）。定义向量 $\alpha = (a_1, a_2, a_3)$，$\beta = (b_1, b_2, b_3)$，$\gamma = (c_1, c_2, c_3)$。问题要求三条直线相交于一点的充要条件，即存在唯一公共点 $(x_0, y_0)$ 同时满足三个方程。
提示：注意 $\alpha, \beta, \gamma$ 是三维向量，其分量对应不同直线的系数，而非同一方程的不同系数。
步骤 2/5
目标：将几何条件转化为代数条件
三条直线交于一点等价于方程组
\[
\begin{cases}
a_1 x + b_1 y = -c_1 \\
a_2 x + b_2 y = -c_2 \\
a_3 x + b_3 y = -c_3
\end{cases}
\]
有唯一解。这要求系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{pmatrix}$ 的秩为2，且增广矩阵 $\tilde{A} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & -c_1 \\ a_2 & b_2 & -c_2 \\ a_3 & b_3 & -c_3 \end{pmatrix}$ 的秩也为2。
公式：系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为2
提示：注意增广矩阵的最后一列是 $-c_i$，但线性相关条件中符号可被吸收。
步骤 3/5
目标：将秩条件转化为向量线性关系
系数矩阵 $A$ 的秩为2意味着行向量 $\alpha = (a_1, a_2, a_3)$ 与 $\beta = (b_1, b_2, b_3)$ 线性无关（因为只有两列，行秩等于列秩，且行向量个数为3，秩为2说明行向量组线性相关，但 $\alpha$ 与 $\beta$ 必须线性无关，否则秩小于2）。增广矩阵的秩也为2意味着向量 $\gamma = (c_1, c_2, c_3)$ 可由 $\alpha, \beta$ 线性表示，即存在 $\lambda, \mu$ 使得 $\gamma = \lambda \alpha + \mu \beta$。这等价于 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关。
公式：$\gamma = \lambda \alpha + \mu \beta$ 或 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关
提示：注意 $\alpha, \beta$ 线性无关是保证两条直线不平行（或重合）的必要条件。
步骤 4/5
目标：推导充要条件
综合以上，三条直线交于一点的充要条件是：
1. $\alpha, \beta$ 线性无关（保证系数矩阵秩为2，即至少两条直线不平行）；
2. $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关（保证增广矩阵秩也为2，即三个方程相容）。
因此，充要条件为 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，且 $\alpha, \beta$ 线性无关。
提示：注意 $\alpha, \beta$ 线性无关意味着 $\alpha$ 与 $\beta$ 不成比例，即至少两条直线的法向量不共线。
步骤 5/5
目标：验证选项
选项分析：
A. $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关：此时增广矩阵秩为3，方程组无解，直线不共点。
B. $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，$\alpha, \beta$ 线性无关：符合上述充要条件。
C. $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关：缺少 $\alpha, \beta$ 线性无关的条件，可能三条直线平行或重合。
D. $\alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，且任意两个都线性无关：条件过强，例如 $\alpha, \beta$ 线性无关但 $\alpha, \gamma$ 可能线性相关，但题目要求任意两个线性无关，不必要。
因此正确选项为B。
提示：注意区分“任意两个线性无关”与“存在两个线性无关”的区别。
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