南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．$A$ 为 3 阶可逆矩阵，$A^{*}=2 A^{\mathrm{T}}$ ，求 $|A|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用伴随矩阵的性质
已知 $A$ 为3阶可逆矩阵，且 $A^{*}=2A^{\mathrm{T}}$。由伴随矩阵的性质，$A^{*}=|A|A^{-1}$，代入得 $|A|A^{-1}=2A^{\mathrm{T}}$。
公式：A^{*}=|A|A^{-1}
提示：注意伴随矩阵的定义和性质，$A^{*}$ 是伴随矩阵，不是转置。
步骤 2/6
目标：两边取行列式
对等式 $|A|A^{-1}=2A^{\mathrm{T}}$ 两边取行列式，得 $\left| |A|A^{-1} \right| = \left| 2A^{\mathrm{T}} \right|$。
公式：|kA| = k^n |A|
提示：注意行列式的数乘性质：$|kA| = k^n |A|$，其中 $n$ 是矩阵阶数。
步骤 3/6
目标：计算左边行列式
左边 $\left| |A|A^{-1} \right| = |A|^3 \left| A^{-1} \right|$，因为 $|A|$ 是数，提取时需乘阶数3次方。
公式：|kA| = k^n |A|
提示：注意 $|A|$ 是数，提取时指数为矩阵阶数3。
步骤 4/6
目标：计算右边行列式
右边 $\left| 2A^{\mathrm{T}} \right| = 2^3 \left| A^{\mathrm{T}} \right| = 8 |A|$，因为 $|A^{\mathrm{T}}| = |A|$。
公式：|A^{\mathrm{T}}| = |A|
提示：转置不改变行列式的值。
步骤 5/6
目标：利用逆矩阵的行列式
由 $|A^{-1}| = |A|^{-1}$，代入左边得 $|A|^3 \cdot |A|^{-1} = |A|^2$。因此等式化为 $|A|^2 = 8|A|$。
公式：|A^{-1}| = |A|^{-1}
提示：注意 $|A| \neq 0$ 因为 $A$ 可逆。
步骤 6/6
目标：解方程求行列式
由 $|A|^2 = 8|A|$，移项得 $|A|^2 - 8|A| = 0$，即 $|A|(|A|-8)=0$。因为 $A$ 可逆，$|A| \neq 0$，所以 $|A| = 8$。
提示：不要忽略 $|A| \neq 0$ 的条件，否则可能得到 $|A|=0$ 的错误解。
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