南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)$ ，满足 $A^{n}=E_{2}$ 的最小正整数 $n$ 为 $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵类型
观察矩阵 $A = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$，其形式与旋转矩阵 $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ 一致。
提示：注意旋转矩阵中元素的位置：左上和右下是余弦，右上和左下是正弦，且右上为负。
步骤 2/6
目标：确定旋转角
比较得 $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\theta = \frac{1}{2}$，因此 $\theta = \frac{\pi}{6}$（或 $2\pi - \frac{\pi}{6}$，但通常取最小正角）。
公式：$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
提示：确保角度在 $[0,2\pi)$ 内，且满足两个三角函数值。
步骤 3/6
目标：理解矩阵幂的几何意义
旋转矩阵的幂 $A^n$ 对应旋转 $n\theta$ 角，即 $A^n = \begin{pmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{pmatrix}$。
公式：$A^n = \begin{pmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{pmatrix}$
提示：该性质可通过数学归纳法证明。
步骤 4/6
目标：建立方程求解n
要求 $A^n = E_2$，即 $\begin{pmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，等价于 $\cos(n\theta)=1$ 且 $\sin(n\theta)=0$，即 $n\theta = 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。
公式：$n\theta = 2k\pi$
提示：注意 $\cos=1$ 且 $\sin=0$ 同时成立的条件是角度为 $2\pi$ 的整数倍。
步骤 5/6
目标：代入角度求解n
代入 $\theta = \frac{\pi}{6}$，得 $n \cdot \frac{\pi}{6} = 2k\pi$，即 $n = 12k$。
公式：$n = 12k$
提示：k为整数，n为正整数，因此最小正整数n对应k=1。
步骤 6/6
目标：确定最小正整数n
取 $k=1$，得最小正整数 $n=12$。验证：$A^{12} = \begin{pmatrix} \cos(2\pi) & -\sin(2\pi) \\ \sin(2\pi) & \cos(2\pi) \end{pmatrix} = E_2$。
提示：注意检查n=1,2,...是否满足条件，但由推导可知12是最小的。
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