南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 的解空间为 $V_{1}, x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ 的解空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 的维数 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求V1的维数
V1是方程 $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ 的解空间。该方程系数矩阵为 $(1,1,1,1)$，秩为1，未知数个数为4，故解空间维数为 $4-1=3$。
公式：dim(V) = n - rank(A)
提示：注意齐次线性方程组解空间的维数等于未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 2/5
目标：求V2的维数
V2是方程组 $x_1=x_2=x_3=x_4$ 的解空间，等价于 $x_1-x_2=0, x_1-x_3=0, x_1-x_4=0$。系数矩阵为 $\begin{pmatrix}1&-1&0&0\\1&0&-1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix}$，秩为3，未知数个数为4，故解空间维数为 $4-3=1$。
公式：dim(V) = n - rank(A)
提示：将等式转化为标准形式，注意系数矩阵的秩计算。
步骤 3/5
目标：求V1∩V2的维数
V1∩V2中的向量同时满足 $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ 和 $x_1=x_2=x_3=x_4$。设 $x_1=x_2=x_3=x_4=t$，代入第一个方程得 $4t=0$，故 $t=0$。因此V1∩V2 = {0}，维数为0。
提示：交集为只含零向量的空间，维数为0。
步骤 4/5
目标：应用维数公式求和空间维数
由维数公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = 3 + 1 - 0 = 4$。
公式：dim(U+V) = dim U + dim V - dim(U∩V)
提示：注意维数公式中交集维数的符号。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$V_1+V_2$ 的维数为 $4$。
提示：最终答案应填写数字。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。