南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．$\sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ 为二次型，其中 $a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}0, & i+j \text { 为偶数；} \\ 1, & i+j \text { 为奇数．}\end{array} .\right.$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析系数矩阵的对称性
由于 $a_{ij}=a_{ji}$（因为 $i+j$ 与 $j+i$ 奇偶性相同），所以矩阵 $A=(a_{ij})$ 是对称矩阵，二次型可写为 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$。
提示：注意二次型通常由对称矩阵表示，但题目给出的 $a_{ij}$ 已经对称。
步骤 2/7
目标：根据奇偶性简化系数
当 $i+j$ 为奇数时 $a_{ij}=1$，即 $i$ 和 $j$ 奇偶性不同；当 $i+j$ 为偶数时 $a_{ij}=0$，即 $i$ 和 $j$ 奇偶性相同。因此，二次型中只有 $i$ 和 $j$ 一奇一偶的项非零。
提示：注意 $i$ 和 $j$ 的取值范围是 $1$ 到 $2n$。
步骤 3/7
目标：将指标分为奇偶两组并重写二次型
令奇数集 $O=\{1,3,\dots,2n-1\}$，偶数集 $E=\{2,4,\dots,2n\}$，各含 $n$ 个元素。则二次型为：
$$f = \sum_{i\in O}\sum_{j\in E} x_i x_j + \sum_{i\in E}\sum_{j\in O} x_i x_j = 2 \sum_{i\in O}\sum_{j\in E} x_i x_j.$$
公式：f = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_{2i-1} x_{2j}
提示：注意两个求和项相等，因此合并为2倍。
步骤 4/7
目标：作线性变换引入新变量
对每个 $i=1,\dots,n$，令 $y_i = x_{2i-1} + x_{2i}$，$z_i = x_{2i-1} - x_{2i}$。则反解为：
$$x_{2i-1} = \frac{y_i+z_i}{2}, \quad x_{2i} = \frac{y_i-z_i}{2}.$$
提示：这是一个可逆线性变换，确保新变量独立。
步骤 5/7
目标：代入二次型并展开
代入 $f = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_{2i-1} x_{2j}$：
$$f = 2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{y_i+z_i}{2} \cdot \frac{y_j-z_j}{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (y_i y_j - y_i z_j + z_i y_j - z_i z_j).$$
提示：注意系数 $2$ 与分母 $4$ 约简为 $\frac{1}{2}$。
步骤 6/7
目标：合并求和项并化简
利用求和性质：
$$\sum_{i,j} y_i y_j = (\sum_i y_i)^2, \quad \sum_{i,j} z_i z_j = (\sum_i z_i)^2, \quad \sum_{i,j} y_i z_j = (\sum_i y_i)(\sum_j z_j), \quad \sum_{i,j} z_i y_j = (\sum_i z_i)(\sum_j y_j).$$
代入得：
$$f = \frac{1}{2} \left[ (\sum y_i)^2 - (\sum y_i)(\sum z_j) + (\sum z_i)(\sum y_j) - (\sum z_i)^2 \right] = \frac{1}{2} \left[ (\sum y_i)^2 - (\sum z_i)^2 \right].$$
公式：f = \frac{1}{2} (Y^2 - Z^2), \quad Y = \sum_{i=1}^n y_i, \; Z = \sum_{i=1}^n z_i
提示：交叉项相消，注意符号。
步骤 7/7
目标：得出标准形并分析秩与符号差
令 $u_1 = Y$，$u_2 = Z$，则 $f = \frac{1}{2} u_1^2 - \frac{1}{2} u_2^2$。这是一个秩为2的二次型，正惯性指数为1，负惯性指数为1，符号差为0。
提示：标准形中系数非零的项只有两个，因此秩为2。
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