南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．$\displaystyle f(x)=x^{4}+(m+1) x^{3}-(2 m+1) x^{2}+\left(m^{2}+m\right) x+m, g(x)=x^{4}+m x^{3}-x^{2}+m x+m$ ．问 $\displaystyle f(x), g(x)$是否存在公共的有理根？若有，求出所有的 $m$ ，若没有，给出理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设公共有理根并建立方程组
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有公共有理根 $r$，则 $f(r)=0$ 且 $g(r)=0$。
提示：注意有理根可以是整数或分数，但这里设为 $r$。
步骤 2/6
目标：两式相减消去高次项
计算 $f(r)-g(r)$：
$$f(r)-g(r)=[r^4+(m+1)r^3-(2m+1)r^2+(m^2+m)r+m] - [r^4+m r^3-r^2+m r+m] = r^3 - m r^2 + m^2 r = r(r^2 - m r + m^2)=0.$$
提示：相减时注意各项符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：分解因式得到两个可能情况
由 $r(r^2 - m r + m^2)=0$ 得 $r=0$ 或 $r^2 - m r + m^2=0$。
提示：不要遗漏 $r=0$ 的情况。
步骤 4/6
目标：讨论情况一：$r=0$
若 $r=0$，代入 $f(0)=m=0$，得 $m=0$。此时 $f(x)=x^4+x^3-x^2$，$g(x)=x^4-x^2$，公共有理根 $0$。
提示：代入 $f(0)$ 时注意常数项为 $m$。
步骤 5/6
目标：讨论情况二：$r \neq 0$
若 $r \neq 0$，则 $r^2 - m r + m^2=0$。视作关于 $m$ 的二次方程：$m^2 - r m + r^2=0$，判别式 $\Delta = r^2 - 4r^2 = -3r^2 < 0$（因为 $r \neq 0$），无实数解，故无有理数 $m$。
公式：判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$
提示：注意将方程整理成关于 $m$ 的标准形式，判别式小于0说明无实数解。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，仅当 $m=0$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 有公共有理根 $0$。
提示：注意题目问的是是否存在公共有理根，以及对应的 $m$ 值。
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