南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：$A$ 可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造正定矩阵
由于 $A$ 可逆，考虑 $A^T A$。对任意非零向量 $x$，有 $x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2 > 0$，故 $A^T A$ 是正定矩阵。
公式：$x^T (A^T A) x = \|Ax\|^2$
提示：注意 $A$ 可逆保证 $Ax \neq 0$，从而内积为正。
步骤 2/5
目标：正交对角化 $A^T A$
由正定矩阵的性质，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T (A^T A) Q = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，且 $\lambda_i > 0$。
公式：$Q^T (A^T A) Q = \Lambda$
提示：正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 3/5
目标：定义正定矩阵 $P$
令 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $A^T A = Q \Lambda Q^T = (Q \Sigma Q^T)^2$。定义 $P = Q \Sigma Q^T$，则 $P$ 是正定矩阵（因为 $\Sigma$ 正定，$Q$ 正交）。
公式：$P = Q \Sigma Q^T$
提示：正定矩阵的平方根唯一且正定。
步骤 4/5
目标：构造正交矩阵 $R$
令 $R = P^{-1} A$。由于 $P$ 可逆，$R$ 是实矩阵。计算 $R^T R$：$R^T R = (P^{-1} A)^T (P^{-1} A) = A^T (P^{-1})^T P^{-1} A = A^T P^{-2} A$。因为 $P^2 = A^T A$，所以 $P^{-2} = (A^T A)^{-1}$，代入得 $R^T R = A^T (A^T A)^{-1} A = I$。因此 $R$ 是正交矩阵。
公式：$R^T R = I$
提示：注意 $(P^{-1})^T = P^{-1}$ 因为 $P$ 对称。
步骤 5/5
目标：得到分解
由 $R = P^{-1} A$ 得 $A = P R$，其中 $P$ 为正定矩阵，$R$ 为正交矩阵。
公式：$A = P R$
提示：验证 $P$ 正定：特征值均为正。
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