南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．$A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\displaystyle 1,-1$ 不是 $A$ 的特征值．
（1）求证：$\displaystyle A^{2}-E$ 是可逆矩阵．
（2）证明：存在次数小于等于 $\displaystyle n-1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(A)=\left(A^{2}-E\right)^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明A-E和A+E可逆
因为1和-1不是A的特征值，所以对于任意非零向量x，有$Ax \neq x$且$Ax \neq -x$，即$(A-E)x \neq 0$且$(A+E)x \neq 0$，故$A-E$和$A+E$可逆。
提示：注意特征值的定义：若$\lambda$是特征值，则存在非零向量x使得$Ax=\lambda x$。
步骤 2/6
目标：证明A^2-E可逆
由于$A^2-E = (A-E)(A+E)$，且$A-E$和$A+E$均可逆，则它们的乘积也可逆，因此$A^2-E$可逆。
公式：$A^2-E = (A-E)(A+E)$
提示：可逆矩阵的乘积仍可逆。
步骤 3/6
目标：引入特征多项式并说明互质
设A的特征多项式为$\varphi(\lambda)=\det(\lambda E - A)$。由于1和-1不是A的特征值，故$\varphi(1)\neq 0$，$\varphi(-1)\neq 0$。考虑多项式$g(\lambda)=\lambda^2-1$，则$g(\lambda)$与$\varphi(\lambda)$互质，因为它们的根不同。
公式：$\varphi(\lambda)=\det(\lambda E - A)$
提示：互质意味着存在多项式u,v使得$u g + v \varphi = 1$。
步骤 4/6
目标：利用互质得到多项式等式
由于$g(\lambda)$与$\varphi(\lambda)$互质，存在多项式$u(\lambda), v(\lambda)$使得$u(\lambda)g(\lambda)+v(\lambda)\varphi(\lambda)=1$。
公式：$u(\lambda)g(\lambda)+v(\lambda)\varphi(\lambda)=1$
提示：这是多项式互质的充要条件。
步骤 5/6
目标：代入矩阵并利用Cayley-Hamilton定理
将$\lambda=A$代入上式得$u(A)g(A)+v(A)\varphi(A)=E$。由Cayley-Hamilton定理，$\varphi(A)=0$，所以$u(A)(A^2-E)=E$，即$u(A)=(A^2-E)^{-1}$。
公式：$\varphi(A)=0$
提示：Cayley-Hamilton定理：矩阵满足其特征多项式。
步骤 6/6
目标：降次得到次数≤n-1的多项式
取$f(\lambda)$为$u(\lambda)$除以$\varphi(\lambda)$的余式，即$u(\lambda)=q(\lambda)\varphi(\lambda)+f(\lambda)$，其中$\deg f < \deg \varphi = n$。代入$\lambda=A$得$f(A)=u(A)$，且$f(\lambda)$次数≤n-1。因此存在次数≤n-1的多项式$f(x)$满足$f(A)=(A^2-E)^{-1}$。
公式：$u(\lambda)=q(\lambda)\varphi(\lambda)+f(\lambda)$
提示：余式次数小于除式次数，这里除式次数为n。
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