南京理工大学 2026年高等代数第0题

首先，$X = \{ A \in M_3(\mathbb{R}) \mid AJ = JA \}$。要证明$X$是线性空间，需验证它关于矩阵加法和数乘封闭，且包含零元。 - **零元**：零矩阵$O$满足$OJ = O = JO$，故$O \in X$。 - **加法封闭**：若$A, B \in X$，则$(A+B)J = AJ + BJ = JA + JB = J(A+B)$，所以$A+B \in X$。 - **数乘封闭**：若$A \in X$，$k \in \mathbb{R}$，则$(kA)J = k(AJ) = k(JA) = J(kA)$，所以$kA \in X$。 因此$X$是$M_3(\mathbb{R})$的子空间，从而是线性空间。

设$A = (a_{ij})_{3 \times 3}$，计算$AJ$和$JA$并令相等。 $$J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.$$ $$AJ = \begin{pmatrix} a_{11}\lambda & a_{11}+a_{12}\lambda & a_{12}+a_{13}\lambda \\ a_{21}\lambda & a_{21}+a_{22}\lambda & a_{22}+a_{23}\lambda \\ a_{31}\lambda & a_{31}+a_{32}\lambda & a_{32}+a_{33}\lambda \end{pmatrix},$$ $$JA = \begin{pmatrix} \lambda a_{11}+a_{21} & \lambda a_{12}+a_{22} & \lambda a_{13}+a_{23} \\ \lambda a_{21}+a_{31} & \lambda a_{22}+a_{32} & \lambda a_{23}+a_{33} \\ \lambda a_{31} & \lambda a_{32} & \lambda a_{33} \end{pmatrix}.$$ 令对应元素相等，得到方程组。

由对应元素相等得： 1. $a_{11}\lambda = \lambda a_{11}+a_{21} \Rightarrow a_{21}=0$. 2. $a_{11}+a_{12}\lambda = \lambda a_{12}+a_{22} \Rightarrow a_{11}=a_{22}$. 3. $a_{12}+a_{13}\lambda = \lambda a_{13}+a_{23} \Rightarrow a_{12}=a_{23}$. 4. $a_{21}\lambda = \lambda a_{21}+a_{31} \Rightarrow a_{31}=0$. 5. $a_{21}+a_{22}\lambda = \lambda a_{22}+a_{32} \Rightarrow a_{21}=a_{32} \Rightarrow a_{32}=0$. 6. $a_{22}+a_{23}\lambda = \lambda a_{23}+a_{33} \Rightarrow a_{22}=a_{33}$. 7-9恒成立或已得。 综上，$a_{21}=a_{31}=a_{32}=0$，$a_{11}=a_{22}=a_{33}$，$a_{12}=a_{23}$，$a_{13}$自由。因此$A$的形式为： $$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}, \quad a,b,c \in \mathbb{R}.$$

由$A$的形式知$X$中矩阵由三个独立参数$a,b,c$决定，故$\dim X = 3$。取基为： $$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \quad J^2 = \begin{pmatrix} \lambda^2 & 2\lambda & 1 \\ 0 & \lambda^2 & 2\lambda \\ 0 & 0 & \lambda^2 \end{pmatrix}.$$ 显然它们属于$X$且线性无关（因为若$\alpha E + \beta J + \gamma J^2 = 0$，比较元素得$\alpha=\beta=\gamma=0$），故为基。

设$f_1, f_2, f_3$是$X$上的线性函数，满足$f_i(B_j) = \delta_{ij}$，其中$B_1=E, B_2=J, B_3=J^2$。对任意$A = aE + bJ + cJ^2 \in X$，有$f_1(A)=a$, $f_2(A)=b$, $f_3(A)=c$。 由于$A$的参数$a,b,c$分别对应矩阵元素：$a = a_{11}$，$b = a_{12}$，$c = a_{13}$，因此可定义： $$f_1(A) = a_{11}, \quad f_2(A) = a_{12}, \quad f_3(A) = a_{13}.$$ 容易验证它们满足对偶基条件。