南京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．$n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用条件推导矩阵乘积为零
由 $A^2 = A$ 得 $A^2 - A = 0$，即 $A(A - E) = 0$。
公式：A(A - E) = 0
提示：注意 $A - E$ 与 $E - A$ 的关系，但此处直接使用 $A - E$。
步骤 2/5
目标：应用秩不等式得到上界
对于任意两个矩阵 $B$ 和 $C$，若 $BC = 0$，则 $r(B) + r(C) \leq n$。这里 $B = A$，$C = A - E$，且 $A(A - E) = 0$，故 $r(A) + r(A - E) \leq n$。
公式：r(B) + r(C) \leq n \text{ 当 } BC = 0
提示：该不等式源于 $C$ 的列空间包含于 $B$ 的零空间，从而维数之和不超过 $n$。
步骤 3/5
目标：构造单位矩阵的分解
注意到 $A + (E - A) = E$，且 $E - A = -(A - E)$，因此 $r(E - A) = r(A - E)$。
公式：A + (E - A) = E
提示：不要混淆 $E - A$ 与 $A - E$，它们秩相等但符号相反。
步骤 4/5
目标：应用秩不等式得到下界
由秩的次可加性：$r(A) + r(E - A) \geq r(A + (E - A)) = r(E) = n$。代入 $r(E - A) = r(A - E)$ 得 $r(A) + r(A - E) \geq n$。
公式：r(X) + r(Y) \geq r(X + Y)
提示：次可加性对任意矩阵成立，但注意这里 $X$ 和 $Y$ 不一定可交换。
步骤 5/5
目标：综合上下界得到等式
由 $r(A) + r(A - E) \leq n$ 和 $r(A) + r(A - E) \geq n$，得 $r(A) + r(A - E) = n$。
提示：注意等号成立的条件已由两个不等式保证。
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