南京航空航天大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
一．已知三阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 6 \\
-1 & 0 & a \\
-1 & -1 & 4
\end{array}\right)
$$
$\displaystyle f(x)=|x E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 是 $A$ 的最小多项式．
（1）求 $a$ 及 $\displaystyle f(x)$ ；
（2）求 $A$ 的初等因子；
（3）$A$ 是否与对角矩阵相似？请说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算特征多项式
计算 $f(x) = |xE - A|$，其中 $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & a \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$，得 $xE - A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 & -6 \\ 1 & x & -a \\ 1 & 1 & x-4 \end{pmatrix}$。按第一行展开行列式：
$$f(x) = (x+1)\begin{vmatrix} x & -a \\ 1 & x-4 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 1 & -a \\ 1 & x-4 \end{vmatrix} + (-6)\begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$
计算各子式：
$$\begin{vmatrix} x & -a \\ 1 & x-4 \end{vmatrix} = x(x-4)+a = x^2-4x+a$$
$$\begin{vmatrix} 1 & -a \\ 1 & x-4 \end{vmatrix} = (x-4)+a = x-4+a$$
$$\begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - x$$
代入并化简得：
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + a x + (2 - a)$$
公式：行列式展开公式
提示：注意符号，展开时每一项的符号由位置决定。
步骤 2/5
目标：利用最小多项式条件求参数a
已知 $(x-1)^2$ 是 $A$ 的最小多项式，故 $1$ 是特征值且代数重数至少为2，因此 $(x-1)^2$ 整除特征多项式 $f(x)$。代入 $x=1$ 得 $f(1)=0$ 恒成立。再求导 $f'(x)=3x^2-6x+a$，令 $f'(1)=0$ 得 $3-6+a=0$，解得 $a=3$。此时 $f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$。
公式：多项式整除条件：若 $(x-1)^2$ 整除 $f(x)$，则 $f(1)=0$ 且 $f'(1)=0$
提示：注意最小多项式整除特征多项式，且重根条件需导数也为零。
步骤 3/5
目标：确定特征多项式
将 $a=3$ 代入 $f(x)$ 得 $f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3$。
步骤 4/5
目标：求初等因子
特征多项式 $f(x)=(x-1)^3$，最小多项式为 $(x-1)^2$。由于最小多项式次数为2，而特征多项式次数为3，故初等因子为 $(x-1)^2$ 和 $(x-1)$。
公式：初等因子由不变因子决定，不变因子为 $d_1(x)=1$, $d_2(x)=x-1$, $d_3(x)=(x-1)^2$
提示：注意初等因子是特征多项式的因式分解，每个因式的指数对应Jordan块大小。
步骤 5/5
目标：判断是否可对角化
若 $A$ 可对角化，则最小多项式无重根，即所有特征值的一次因式互异。但这里最小多项式为 $(x-1)^2$，有重根，故 $A$ 不与对角矩阵相似。
公式：矩阵可对角化当且仅当最小多项式无重根
提示：注意最小多项式有重根时，Jordan标准形中有大于1的Jordan块。
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