南京航空航天大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
七．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=A+B$ ．证明：
（1）$\displaystyle A B=B A$ ；
（2）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $A$ 的特征值；
（3）若 $A$ 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为对角阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明AB=BA
由已知 $AB = A + B$，移项得 $AB - A - B = 0$，即 $(A - I)(B - I) = I$。因此 $A - I$ 可逆，且 $(A - I)^{-1} = B - I$。于是 $(B - I)(A - I) = I$，展开得 $BA - A - B + I = I$，即 $BA = A + B$。结合 $AB = A + B$，得 $AB = BA$。
公式：$(A - I)(B - I) = I$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但通过构造 $(A-I)(B-I)=I$ 可推出可逆性，进而得到交换性。
步骤 2/3
目标：证明λ=1不是A的特征值
假设存在非零向量 $\mathbf{x}$ 使得 $A\mathbf{x} = \mathbf{x}$。由 $AB = A + B$ 得 $AB\mathbf{x} = A\mathbf{x} + B\mathbf{x} = \mathbf{x} + B\mathbf{x}$。令 $\mathbf{y} = B\mathbf{x}$，则 $A\mathbf{y} = \mathbf{x} + \mathbf{y}$，即 $(A - I)\mathbf{y} = \mathbf{x}$。但由(1)知 $A - I$ 可逆，故 $\mathbf{y} = (A - I)^{-1}\mathbf{x}$。另一方面，$A\mathbf{x} = \mathbf{x}$ 意味着 $(A - I)\mathbf{x} = 0$，由于 $A - I$ 可逆，得 $\mathbf{x} = 0$，矛盾。因此 $\lambda = 1$ 不是 $A$ 的特征值。
公式：$(A - I)\mathbf{y} = \mathbf{x}$
提示：注意利用可逆性推出矛盾，避免直接假设特征向量为零向量。
步骤 3/3
目标：证明A可对角化时存在P使P^{-1}AP和P^{-1}BP同时为对角阵
由(1)知 $AB = BA$，即 $A$ 与 $B$ 可交换。已知 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$ 为对角阵。由于 $A$ 与 $B$ 可交换，且 $A$ 可对角化，则 $B$ 保持 $A$ 的每个特征子空间不变。在每个特征子空间上，$B$ 可对角化（因为 $B$ 限制在子空间上是线性变换，且可交换性保证其可对角化），从而存在一组公共的特征向量基，使得 $A$ 和 $B$ 同时对角化。因此，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 均为对角阵。
提示：注意可交换性保证同时对角化的条件：其中一个可对角化时，另一个可被同时对角化。
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