南京航空航天大学 2023年高等代数第0题

三．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \alpha_{2}=(-2, \alpha, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, \alpha,-2)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \beta_{2}=(1, \alpha, 1)^{T}, \beta_{3}=(\alpha, 1,1)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间． （1）若 $\displaystyle V_{2}$ 的维数为 1 ，求 $\displaystyle \alpha$ 的值； （2）若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围； （3）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 维数的取值范围．