南京航空航天大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
二．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & b\end{array}\right)$ 有特征向量 $\displaystyle \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值；
（2）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵；
（3）求 $\displaystyle A^{2022}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征向量定义求参数a和b
由特征向量定义，$A\beta = \lambda \beta$，即
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
\]
计算左边得
\[
\begin{pmatrix} 0 \\ a+1 \\ -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \\ -\lambda \end{pmatrix}.
\]
比较分量得：$0=\lambda$，$a+1=\lambda$，$-b=-\lambda$。由$\lambda=0$得$a=-1$，$b=0$。
公式：A\beta = \lambda \beta
提示：注意特征向量定义中，特征值λ是标量，需与向量分量对应比较。
步骤 2/6
目标：写出矩阵A并求特征多项式
将$a=-1$，$b=0$代入得
\[
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
\]
计算特征多项式：
\[
\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ 1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-1)^2.
\]
特征值为$\lambda_1=0$（单根），$\lambda_2=\lambda_3=1$（二重根）。
公式：\det(\lambda I - A) = \lambda(\lambda-1)^2
提示：计算三阶行列式时，注意符号和展开方式，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：求特征值0的特征向量
由(1)已知$\lambda=0$的特征向量为$\beta_1 = (1,1,-1)^T$。
提示：特征向量不唯一，但本题已给出一个，直接使用即可。
步骤 4/6
目标：求特征值1的特征向量
解$(I-A)x=0$：
\[
I-A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\]
基础解系：$x_1 = x_2 + x_3$，取$x_2=1,x_3=0$得$\beta_2=(1,1,0)^T$；取$x_2=0,x_3=1$得$\beta_3=(1,0,1)^T$。
公式：(I-A)x=0
提示：二重特征值需找到两个线性无关的特征向量，注意基础解系的取法。
步骤 5/6
目标：构造可逆矩阵P并验证对角化
令$P = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(0,1,1)$。
公式：P^{-1}AP = \Lambda
提示：P的列向量顺序需与特征值顺序对应。
步骤 6/6
目标：计算A的2022次幂
由$A = P\Lambda P^{-1}$得$A^{2022} = P\Lambda^{2022} P^{-1}$。
由于$\Lambda = \operatorname{diag}(0,1,1)$，$\Lambda^{2022} = \operatorname{diag}(0^{2022},1^{2022},1^{2022}) = \operatorname{diag}(0,1,1) = \Lambda$。
因此$A^{2022} = P\Lambda P^{-1} = A$。
公式：A^{2022} = P\Lambda^{2022}P^{-1}
提示：注意0的幂次：0^2022=0，1^2022=1。
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