南京航空航天大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五．设三阶实矩阵 $A$ 的 3 个列向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，二次型
$$
f(x)=\left(\alpha^{T} x\right)^{2}+\left(\beta^{T} x\right)^{2}+\left(\gamma^{T} x\right)^{2}
$$
其中 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．
（1）求此二次型的矩阵 $B$ ；
（2）问：此二次型是否正定？并写出此二次型的规范型；
（3）是否存在正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle B=S^{3}$ ？并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二次型表示为矩阵形式
给定二次型 $f(x) = (\alpha^T x)^2 + (\beta^T x)^2 + (\gamma^T x)^2$。注意到每个平方项可以写成 $x^T (\alpha \alpha^T) x$，因为 $(\alpha^T x)^2 = (\alpha^T x)^T (\alpha^T x) = x^T \alpha \alpha^T x$。因此，$f(x) = x^T (\alpha \alpha^T + \beta \beta^T + \gamma \gamma^T) x$。
公式：$(\alpha^T x)^2 = x^T \alpha \alpha^T x$
提示：注意 $\alpha$ 是列向量，$\alpha \alpha^T$ 是秩1矩阵。
步骤 2/5
目标：用矩阵A表示二次型矩阵B
设 $A = (\alpha, \beta, \gamma)$ 为三阶实矩阵，其列向量为 $\alpha, \beta, \gamma$。则 $A A^T = \alpha \alpha^T + \beta \beta^T + \gamma \gamma^T$。因此二次型矩阵 $B = A A^T$。
公式：$A A^T = \sum_{i=1}^3 \alpha_i \alpha_i^T$
提示：注意 $A A^T$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，而 $A^T A$ 不同。
步骤 3/5
目标：判断二次型的正定性
由于 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，矩阵 $A$ 可逆。对于任意非零向量 $x$，有 $A^T x \neq 0$，因为 $A$ 可逆。于是 $f(x) = x^T A A^T x = \|A^T x\|^2 > 0$。因此二次型正定。
公式：$f(x) = \|A^T x\|^2$
提示：正定性要求对所有非零 $x$，$f(x)>0$。这里 $A$ 可逆是关键。
步骤 4/5
目标：写出二次型的规范型
正定二次型的规范型为 $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$，即所有系数为1。
公式：规范型：$y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$
提示：规范型与标准型的区别：规范型系数只能是1或-1或0。
步骤 5/5
目标：证明存在正定矩阵S使得B=S^3
由于 $B$ 正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $B = Q \Lambda Q^T$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，且 $\lambda_i > 0$。令 $\Sigma = \operatorname{diag}(\lambda_1^{1/3}, \lambda_2^{1/3}, \lambda_3^{1/3})$，则 $\Sigma^3 = \Lambda$。定义 $S = Q \Sigma Q^T$，则 $S$ 对称且特征值均正，故正定。且 $S^3 = Q \Sigma^3 Q^T = Q \Lambda Q^T = B$。
公式：$B = Q \Lambda Q^T$，$S = Q \Lambda^{1/3} Q^T$
提示：注意 $S$ 的构造利用了正交对角化，且立方根运算对正数有意义。
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