南京航空航天大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle U, W$ 是 $V$ 的两个子空间，并且 $\displaystyle V=U \oplus W$ ．任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \in V$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{1} \in U, \alpha_{2} \in W$ ，令 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha_{1}$ ．记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} \sigma=\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ；
（2） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=W, \operatorname{Im} \sigma=U$ ；
（3）$\displaystyle \sigma$ 可对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明σ是线性变换
对任意α, β ∈ V和k ∈ P，设α = α₁ + α₂，β = β₁ + β₂，其中α₁, β₁ ∈ U，α₂, β₂ ∈ W。则σ(α+β) = σ((α₁+β₁)+(α₂+β₂)) = α₁+β₁ = σ(α)+σ(β)；σ(kα) = σ(kα₁+kα₂) = kα₁ = kσ(α)。故σ是线性变换。
提示：注意直和分解的唯一性，确保α₁, α₂唯一确定。
步骤 2/5
目标：证明σ² = σ
对任意α = α₁ + α₂ ∈ V，有σ(α) = α₁ ∈ U，且σ(α)的分解为α₁ + 0，其中0 ∈ W。因此σ²(α) = σ(σ(α)) = σ(α₁) = α₁ = σ(α)。所以σ² = σ。
公式：σ² = σ
提示：注意σ(α) ∈ U，其W分量为0。
步骤 3/5
目标：证明Ker σ = W
α ∈ Ker σ ⇔ σ(α) = 0 ⇔ α₁ = 0 ⇔ α = α₂ ∈ W，故Ker σ = W。
提示：零向量在U中的分量为0。
步骤 4/5
目标：证明Im σ = U
任意α₁ ∈ U，取α = α₁ + 0 ∈ V，则σ(α) = α₁，故U ⊆ Im σ。反之，任意σ(α) = α₁ ∈ U，故Im σ ⊆ U。因此Im σ = U。
提示：注意直和分解中W分量可以取0。
步骤 5/5
目标：证明σ可对角化
由于σ² = σ，σ是幂等线性变换。幂等变换的特征值只能是0或1。对于特征值0，特征子空间为Ker σ = W；对于特征值1，特征子空间为Im σ = U。因为V = U ⊕ W，所以V等于特征子空间的直和，从而σ可对角化。
公式：σ² = σ ⇒ 特征值0或1
提示：幂等变换可对角化的充要条件是特征子空间直和为全空间。
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