南京航空航天大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六．解答如下问题：
（1）判别多项式 $\displaystyle x^{6}-5 x+6$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上有无重因式；
（2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $A$ 一定可对角化；
（3）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且满足 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 在数域 $P$ 上可对角化．证明：在数域 $P$ 上，$\displaystyle A, B$ 均可对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算多项式的导数
对于多项式 $f(x)=x^6-5x+6$，求导得 $f'(x)=6x^5-5$。
公式：$f'(x)=6x^5-5$
提示：注意常数项6的导数为0。
步骤 2/7
目标：判断重因式的条件
多项式有重因式当且仅当 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式，即存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)=f'(x_0)=0$。
提示：重因式判别定理：$f(x)$ 有重因式当且仅当 $\gcd(f,f')\neq 1$。
步骤 3/7
目标：假设存在公共根并推导
设存在 $x_0$ 满足 $f(x_0)=0$ 且 $f'(x_0)=0$。由 $f'(x_0)=0$ 得 $6x_0^5=5$，即 $x_0^5=\frac{5}{6}$。代入 $f(x_0)=0$ 得 $x_0^6-5x_0+6=0$。
公式：$x_0^5=\frac{5}{6}$
提示：注意 $x_0^6 = x_0 \cdot x_0^5$。
步骤 4/7
目标：化简并求解 $x_0$
将 $x_0^6 = x_0 \cdot \frac{5}{6}$ 代入 $f(x_0)=0$ 得 $\frac{5}{6}x_0 - 5x_0 + 6 = 0$，即 $-\frac{25}{6}x_0 + 6 = 0$，解得 $x_0 = \frac{36}{25}$。
公式：$x_0 = \frac{36}{25}$
提示：计算时注意分数运算。
步骤 5/7
目标：验证矛盾
计算 $x_0^5 = \left(\frac{36}{25}\right)^5$，显然不等于 $\frac{5}{6}$，与 $x_0^5=\frac{5}{6}$ 矛盾。因此不存在公共根，$f(x)$ 无重因式。
提示：无需具体计算数值，只需说明明显不等即可。
步骤 6/7
目标：证明 $A$ 可对角化
由 $A^4=E$ 知 $A$ 满足多项式 $\lambda^4-1=0$，极小多项式 $m(\lambda)$ 整除 $\lambda^4-1$。在复数域上，$\lambda^4-1=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-i)(\lambda+i)$ 无重根，故 $m(\lambda)$ 无重根，从而 $A$ 可对角化。
公式：$\lambda^4-1=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-i)(\lambda+i)$
提示：可对角化的充要条件是极小多项式无重根。
步骤 7/7
目标：证明 $A$ 和 $B$ 可对角化
设 $C=\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$ 可对角化，则 $C$ 的极小多项式无重根。$A$ 的极小多项式整除 $C$ 的极小多项式，故也无重根，从而 $A$ 可对角化。同理 $B$ 可对角化。
提示：注意分块矩阵的极小多项式与原矩阵的关系。
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