南京航空航天大学 2023年高等代数第0题

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．