南京航空航天大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．只记得答案为 $\displaystyle k(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, A X=k(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 的解空间．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意
题目给出非齐次线性方程组 $AX = k(1,1,1,1)^T$ 的解空间为 $k(1,1,1,1)^T$，其中 $k$ 为任意常数。这意味着对于每个固定的 $k$，方程的解是唯一的，且等于 $k(1,1,1,1)^T$。因此，解空间是一维的，由向量 $(1,1,1,1)^T$ 张成。
提示：注意区分齐次与非齐次方程的解空间：非齐次方程的解集是齐次方程解集加上一个特解。
步骤 2/6
目标：分析齐次方程的解
考虑 $k=0$ 的情况，此时方程为 $AX=0$，其解为 $0\cdot(1,1,1,1)^T = 0$，即只有零解。因此，齐次线性方程组 $AX=0$ 只有零解，故矩阵 $A$ 可逆（满秩）。
公式：齐次方程 $AX=0$ 有唯一零解 $\iff$ $A$ 可逆
提示：不要误以为非齐次解空间的形式意味着齐次解空间也是该形式，需代入 $k=0$ 验证。
步骤 3/6
目标：利用特解确定特征关系
取 $k=1$，则 $A(1,1,1,1)^T = (1,1,1,1)^T$。这说明向量 $(1,1,1,1)^T$ 是 $A$ 的一个特征向量，对应的特征值为 $1$。
公式：$A\alpha = \lambda \alpha$，其中 $\alpha=(1,1,1,1)^T$，$\lambda=1$
提示：特征向量不能为零向量，这里 $(1,1,1,1)^T$ 非零，符合条件。
步骤 4/6
目标：推导一般情况
对于任意 $k$，由解的形式 $X=k(1,1,1,1)^T$ 代入方程得 $A(k(1,1,1,1)^T) = k(1,1,1,1)^T$。由于 $k$ 是任意常数，这等价于 $A(1,1,1,1)^T = (1,1,1,1)^T$，与 $k$ 无关。因此，该关系对所有 $k$ 成立。
公式：$A(k\alpha)=kA\alpha$（线性性）
提示：注意线性方程组中 $k$ 是常数，不是变量，但这里 $k$ 出现在方程右边，需区分。
步骤 5/6
目标：总结解空间
综上所述，方程组 $AX = k(1,1,1,1)^T$ 的解空间为 $\{ k(1,1,1,1)^T \mid k \in \mathbb{R} \}$，即所有形如 $k(1,1,1,1)^T$ 的向量构成的集合。
提示：解空间是一维的，基为 $(1,1,1,1)^T$。
步骤 6/6
目标：验证可逆性
由于 $AX=0$ 只有零解，$A$ 可逆。因此，对于任意右端项 $b$，方程 $AX=b$ 有唯一解。这里 $b=k(1,1,1,1)^T$，解为 $X=k(1,1,1,1)^T$，且 $A^{-1}$ 作用在 $(1,1,1,1)^T$ 上也得到自身。
公式：$A$ 可逆 $\iff$ $\det A \neq 0$
提示：可逆矩阵的特征值均不为零，这里特征值1非零，与可逆一致。
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