南昌大学 2025年高等代数第1题

将原行列式 $|D_n|$ 的第一列拆分为 $(x_1 - z, 0, \dots, 0)^T$ 与 $(z, z, \dots, z)^T$ 的和，得到两个行列式之和： $$|D_n| = \begin{vmatrix} x_1 & y & \cdots & y & y \\ z & x_2 & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & \cdots & x_{n-1} & y \\ z & z & \cdots & z & x_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1 - z & y & \cdots & y & y \\ 0 & x_2 & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & z & \cdots & x_{n-1} & y \\ 0 & z & \cdots & z & x_n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z & y & \cdots & y & y \\ z & x_2 & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & \cdots & x_{n-1} & y \\ z & z & \cdots & z & x_n \end{vmatrix}.$$

第一个行列式按第一列展开，只有第一行第一列元素非零，其余第一列元素均为0，因此展开得 $(x_1 - z) \cdot D_{n-1}^{(1)}$，其中 $D_{n-1}^{(1)}$ 是右下角 $n-1$ 阶子式，其结构与原行列式相同，但第一行第一列变为 $x_2$，且第一行其余为 $y$，第一列其余为 $z$，即： $$D_{n-1}^{(1)} = \begin{vmatrix} x_2 & y & \cdots & y & y \\ z & x_3 & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & \cdots & x_{n-1} & y \\ z & z & \cdots & z & x_n \end{vmatrix}.$$

第二个行列式第一列全为 $z$，将第一行乘以 $-1$ 加到第 $2$ 至第 $n$ 行，得到： $$\begin{vmatrix} z & y & y & \cdots & y \\ 0 & x_2 - y & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x_3 - y & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x_n - y \end{vmatrix}.$$ 这是一个下三角行列式，其值为 $z \cdot \prod_{i=2}^n (x_i - y)$。

由前两步得到递推关系： $$|D_n| = (x_1 - z) D_{n-1}^{(1)} + z \prod_{i=2}^n (x_i - y).$$ 类似地，对 $D_{n-1}^{(1)}$ 重复上述过程，即将其第一列拆分为 $(x_2 - z, 0, \dots, 0)^T$ 与 $(z, z, \dots, z)^T$ 的和，可得： $$D_{n-1}^{(1)} = (x_2 - z) D_{n-2}^{(2)} + z \prod_{i=3}^n (x_i - y),$$ 其中 $D_{n-2}^{(2)}$ 是去掉前两行两列后的子式。如此继续，最终得到递推公式。

将递推逐步代入，得到： $$|D_n| = (x_1 - z) \left[ (x_2 - z) D_{n-2}^{(2)} + z \prod_{i=3}^n (x_i - y) \right] + z \prod_{i=2}^n (x_i - y)$$ $$= (x_1 - z)(x_2 - z) D_{n-2}^{(2)} + z (x_1 - z) \prod_{i=3}^n (x_i - y) + z \prod_{i=2}^n (x_i - y).$$ 继续展开，直到 $D_{n-k}^{(k)}$ 变为1阶行列式 $x_n$，最终得到： $$|D_n| = \prod_{i=1}^n (x_i - z) + z \sum_{k=1}^n \left( \prod_{i=1}^{k-1} (x_i - z) \cdot \prod_{i=k+1}^n (x_i - y) \right).$$

将上式中的 $\prod_{i=1}^{k-1} (x_i - z)$ 改写为 $\prod_{i=1}^{k-1} [(x_i - y) + (y - z)]$，但更简洁的方法是直接验证最终结果形式。实际上，通过另一种拆分方法（例如按最后一列拆分）可得对称形式： $$|D_n| = \prod_{i=1}^n (x_i - y) + (z - y) \sum_{k=1}^n \left( \prod_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^n (x_i - y) \right).$$ 此结果与上一步结果等价，可通过展开验证。当 $y \neq z$ 时，该表达式有意义。