南昌大学 2025年高等代数第10题

将原方程 $2X + AX = XA^2$ 改写为 $AX - XA^2 = -2X$，即 $(A)X - X(A^2) = -2X$。这等价于线性变换 $\mathcal{L}(X) = AX - XA^2$ 满足 $\mathcal{L}(X) = -2X$，因此 $X$ 是 $\mathcal{L}$ 对应于特征值 $-2$ 的特征向量。

线性变换 $\mathcal{L}(X) = AX - XA^2$ 的特征值具有形式 $\lambda_i - \lambda_j^2$，其中 $\lambda_i, \lambda_j$ 是 $A$ 的特征值（考虑复数域）。这是因为若 $A$ 可对角化，则取 $X$ 为矩阵单位 $E_{ij}$ 可得；一般情形通过 Jordan 标准形也可证明。

若存在非零解 $X$，则 $-2$ 是 $\mathcal{L}$ 的特征值，故存在 $A$ 的特征值 $\lambda, \mu$ 使得 $\lambda - \mu^2 = -2$，即 $\lambda = \mu^2 - 2$。

由于 $f(A)=0$，$A$ 的每个特征值 $\lambda$ 满足 $f(\lambda)=0$。因此 $\mu$ 满足 $f(\mu^2 - 2)=0$。定义多项式 $g(x)=f(x^2-2)$，则 $g(\mu)=0$。$g(x)$ 的次数为 $2m$，首项系数为 $a_m$。

由条件 $a_m > \sum_{i=1}^{m-1} |a_i|$，假设 $|\lambda| \ge 1$，则 $|a_m \lambda^m| = a_m |\lambda|^m \ge a_m |\lambda|^{m-1} > \sum_{i=1}^{m-1} |a_i| |\lambda|^{m-1} \ge \sum_{i=1}^{m-1} |a_i| |\lambda|^i$，从而 $|f(\lambda)| \ge |a_m \lambda^m| - \sum_{i=1}^{m-1} |a_i| |\lambda|^i > 0$，矛盾。故 $f(x)$ 的所有根的模小于1。

由步骤5，$A$ 的所有特征值的模小于1，故 $|\mu| < 1$ 且 $|\lambda| = |\mu^2 - 2| < 1$。但 $|\mu^2 - 2| \ge 2 - |\mu|^2 > 1$（因为 $|\mu|<1$），矛盾。因此不存在这样的 $\mu$，从而 $-2$ 不是 $\mathcal{L}$ 的特征值。

由于 $-2$ 不是 $\mathcal{L}$ 的特征值，方程 $\mathcal{L}(X) = -2X$ 只有零解，即原矩阵方程 $2X + AX = XA^2$ 只有零解 $X=0$。