南昌大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2、（15分）已知 $n$ 为奇数，证明：$\displaystyle (x+y)(y+z)(z+x)$ 整除
$$
(x+y+z)^{n}-x^{n}-y^{n}-z^{n} .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定多项式并明确目标
设 $f(x,y,z) = (x+y+z)^n - x^n - y^n - z^n$。要证明 $(x+y)(y+z)(z+x) \mid f(x,y,z)$，即证明 $f$ 能被 $x+y$、$y+z$、$z+x$ 分别整除。由于 $n$ 为奇数，可利用对称性。
提示：注意 $n$ 是奇数的条件，后续会用到。
步骤 2/6
目标：证明 $x+y$ 整除 $f$
令 $x = -y$，代入 $f$ 得：
$$f(-y, y, z) = (-y + y + z)^n - (-y)^n - y^n - z^n = z^n - (-y)^n - y^n - z^n = -[(-y)^n + y^n].$$
因为 $n$ 为奇数，$(-y)^n = -y^n$，所以 $(-y)^n + y^n = 0$，故 $f(-y, y, z) = 0$。因此 $x+y$ 是 $f$ 的因式。
公式：$(-y)^n = -y^n$ 当 $n$ 为奇数
提示：代入时注意符号，$(-y)^n$ 当 $n$ 为奇数时等于 $-y^n$。
步骤 3/6
目标：由对称性得到 $y+z$ 和 $z+x$ 整除 $f$
由于 $f(x,y,z)$ 关于 $x,y,z$ 对称，同理可证 $y+z$ 和 $z+x$ 也是 $f$ 的因式。即令 $y=-z$ 可得 $y+z \mid f$，令 $z=-x$ 可得 $z+x \mid f$。
提示：对称性意味着轮换变量后结论不变，但需注意 $n$ 为奇数这一条件在每一步都需使用。
步骤 4/6
目标：说明因式两两互素
多项式 $x+y$、$y+z$、$z+x$ 两两互素（作为多项式），因为它们的公因子只能是常数。例如，$x+y$ 与 $y+z$ 的最大公因子为常数，因为若存在非常数公因子，则它同时整除 $x+y$ 和 $y+z$，从而整除它们的差 $(x+y)-(y+z)=x-z$，但 $x+y$ 与 $x-z$ 互素。
提示：互素性需要严格说明，但在此题中通常可默认。
步骤 5/6
目标：由因式分解定理得到整除结论
由于 $x+y$、$y+z$、$z+x$ 两两互素且均为 $f$ 的因式，故它们的乘积 $(x+y)(y+z)(z+x)$ 整除 $f(x,y,z)$，即
$$(x+y)(y+z)(z+x) \mid (x+y+z)^n - x^n - y^n - z^n.$$
提示：注意：整除关系成立需要因式互素，否则可能只是乘积整除，但这里互素成立。
步骤 6/6
目标：总结证明
因此，对于任意奇数 $n$，$(x+y)(y+z)(z+x)$ 整除 $(x+y+z)^n - x^n - y^n - z^n$，证毕。
提示：本题的关键是利用因式定理和奇数次幂的性质。
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