厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断矩阵可逆性
由于 $\det A = 3 \neq 0$，所以 $A$ 是可逆矩阵。
提示：注意行列式非零是矩阵可逆的充要条件。
步骤 2/6
目标：用逆矩阵表示伴随矩阵
对于可逆矩阵 $A$，伴随矩阵 $A^*$ 与逆矩阵 $A^{-1}$ 的关系为 $A^* = \det A \cdot A^{-1}$。代入 $\det A = 3$ 得 $A^* = 3A^{-1}$。
公式：$A^* = \det A \cdot A^{-1}$
提示：此公式仅适用于可逆矩阵，且注意 $A^*$ 的定义是 $A$ 的代数余子式矩阵的转置。
步骤 3/6
目标：化简 $A^* - A^{-1}$
将 $A^* = 3A^{-1}$ 代入 $A^* - A^{-1}$，得 $A^* - A^{-1} = 3A^{-1} - A^{-1} = 2A^{-1}$。
提示：注意矩阵的线性运算规则，系数可以合并。
步骤 4/6
目标：计算行列式
计算 $\det(A^* - A^{-1}) = \det(2A^{-1})$。利用行列式的数乘性质：$\det(kB) = k^n \det B$，其中 $B$ 是 $n$ 阶方阵，$k$ 是常数。因此 $\det(2A^{-1}) = 2^n \det(A^{-1})$。
公式：$\det(kB) = k^n \det B$
提示：注意 $n$ 是矩阵的阶数，不要忘记指数。
步骤 5/6
目标：计算逆矩阵的行列式
对于可逆矩阵 $A$，有 $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$。代入 $\det A = 3$，得 $\det(A^{-1}) = \frac{1}{3}$。
公式：$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$
提示：此公式成立的前提是 $A$ 可逆。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将 $\det(A^{-1}) = \frac{1}{3}$ 代入 $2^n \det(A^{-1})$，得 $\det(A^* - A^{-1}) = 2^n \cdot \frac{1}{3} = \frac{2^n}{3}$。
提示：最终结果是一个与 $n$ 有关的表达式，注意 $n$ 是矩阵的阶数。
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