厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 是 3 阶方阵，$P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 。若 $P=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ ， $Q=\left(X_{2}, X_{1}, X_{3}\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $P^{-1}$ 表示 $P$ 的逆。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由已知条件得出特征关系
已知 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(1,2,3)$，即 $AP = P\Lambda$。设 $P = (X_1, X_2, X_3)$，则 $AP = (AX_1, AX_2, AX_3)$，而 $P\Lambda = (X_1, 2X_2, 3X_3)$，因此有 $AX_1 = X_1$, $AX_2 = 2X_2$, $AX_3 = 3X_3$。
公式：AP = P\Lambda
提示：注意矩阵乘法顺序，$P\Lambda$ 是对 $P$ 的列进行缩放。
步骤 2/6
目标：写出Q的表达式并计算AQ
由 $Q = (X_2, X_1, X_3)$，则 $AQ = (AX_2, AX_1, AX_3) = (2X_2, X_1, 3X_3)$。
提示：注意 $AX_2 = 2X_2$ 等关系，不要混淆顺序。
步骤 3/6
目标：将Q表示为P与初等矩阵的乘积
由于 $Q$ 是 $P$ 交换前两列得到，因此 $Q = P E$，其中 $E = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是交换第一、二列的初等矩阵。易知 $E^{-1} = E$。
公式：Q = PE
提示：初等矩阵的逆就是自身（交换两列的情况）。
步骤 4/6
目标：利用相似变换化简Q^{-1}AQ
于是 $Q^{-1}AQ = (PE)^{-1} A (PE) = E^{-1} P^{-1} A P E = E \Lambda E$。
公式：Q^{-1}AQ = E\Lambda E
提示：注意逆矩阵的顺序：$(PE)^{-1} = E^{-1}P^{-1}$。
步骤 5/6
目标：计算EΛE
先计算 $E\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，再右乘 $E$：$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵乘法要逐行逐列计算，注意交换顺序后对角元的变化。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此 $Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
提示：最终结果是对角矩阵，但特征值顺序与P中列的顺序对应。
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