厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为客，且 $A$ 的秩 $r(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A X=0$ 的所有解为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与已知条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，各行元素之和为 $k$，即 $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$，所以 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ 是 $A$ 的属于特征值 $k$ 的特征向量。又 $r(A)=n-1$，故 $0$ 是 $A$ 的特征值，且几何重数为 $1$（因为 $n - r(A) = 1$）。
公式：A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}
提示：注意：各行元素之和为 $k$ 意味着所有行和相等，但题目中写的是“为客”，可能是笔误，通常为0。
步骤 2/5
目标：分析齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数等于 $n - r(A) = n - (n-1) = 1$，因此所有解可表示为 $c \alpha$，其中 $\alpha$ 是某个非零解向量，$c$ 为任意常数。
公式：\dim \ker A = n - r(A) = 1
提示：解空间维数为1，说明基础解系只含一个向量。
步骤 3/5
目标：讨论k=0的情况
若 $k=0$，则 $A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = 0$，即 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ 是 $AX=0$ 的一个非零解。由于解空间维数为1，所有解为 $c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$，$c \in \mathbb{R}$。
公式：A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = 0
提示：此时特征向量恰好是零空间向量。
步骤 4/5
目标：讨论k≠0的情况
若 $k \neq 0$，则 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ 不是 $AX=0$ 的解。由于 $r(A)=n-1$，$0$ 是特征值且几何重数为1，存在唯一的（相差常数倍）非零向量 $\alpha$ 使得 $A\alpha=0$。但题目未给出具体矩阵，无法写出 $\alpha$ 的具体形式。然而，常见题型中通常假设 $k=0$，故本题答案应为 $c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$。
提示：若k≠0，解向量与(1,1,...,1)^T线性无关，但题目信息不足，无法具体写出。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上分析，并考虑到题目常见表述，通常认为各行元素之和为0，因此齐次线性方程组 $AX=0$ 的所有解为 $c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $c$ 为任意常数。
公式：X = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c \in \mathbb{R}
提示：注意：答案应包含任意常数c。
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