厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 3 是 $\left(\begin{array}{rrrr}1 & & & 1 \\ & 2 & 2 & \\ & 2 & a & \\ 1 & & & 1\end{array}\right)$ 的一个特征值，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ＂
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵并利用特征值条件
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。已知 $3$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $\det(A - 3I) = 0$。
公式：特征值条件：$\det(A - \lambda I) = 0$
提示：注意矩阵中未标出的元素为0，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：计算 $A-3I$
计算 $A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a-3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。
提示：注意对角线上元素减去3，其他元素不变。
步骤 3/6
目标：按第一行展开行列式
按第一行展开：
$$\det(A - 3I) = (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & a-3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} - 0 \cdot (\cdots) + 0 \cdot (\cdots) - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & a-3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}.$$
公式：行列式按行展开公式：$\det = \sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$
提示：注意符号：第一行第四列元素1的代数余子式符号为$(-1)^{1+4}=-1$，所以是减去。
步骤 4/6
目标：计算第一个三阶行列式
计算第一个三阶行列式：
$$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 2 & a-3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & a-3 \end{vmatrix} = (-2)[(-1)(a-3) - 4] = (-2)(-a+3-4) = (-2)(-a-1) = 2a+2.$$
公式：上三角或下三角行列式等于对角线乘积，此处按第三列展开简化。
提示：注意符号：按第三列展开时，元素-2的代数余子式符号为正。
步骤 5/6
目标：计算第二个三阶行列式
计算第二个三阶行列式：
$$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & a-3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & a-3 \end{vmatrix} = (-1)(a-3) - 4 = -a+3-4 = -a-1.$$
公式：按第三行展开，因为第三行只有一个非零元素1。
提示：注意符号：第三行第一列元素1的代数余子式符号为$(-1)^{3+1}=1$。
步骤 6/6
目标：代入并求解a
代入得：
$$\det = (-2)(2a+2) - 1 \cdot (-a-1) = -4a-4 + a+1 = -3a-3.$$
令其为零：$-3a-3=0$，解得 $a=-1$。
提示：注意展开时第一项系数是-2，第二项系数是-1，不要弄错符号。
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