厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，且在 $F$ 上互素．若有复数 $c$ ，使得 $f(c)=0$ ，则 $g(c)$ $\_\_\_\_$ （选填＂必等于＂＂未必等于＂＂必不等于＂） 0 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解互素多项式的性质
已知 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在数域 $F$ 上互素，即它们的最大公因式为常数（非零）。根据互素多项式的性质，存在多项式 $u(x), v(x) \in F[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。
公式：存在 $u(x), v(x) \in F[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$
提示：注意互素的定义：最大公因式为常数，且该常数可归一化为1。
步骤 2/5
目标：代入复数c
将 $x = c$ 代入等式 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$，得到 $u(c)f(c) + v(c)g(c) = 1$。
公式：$u(c)f(c) + v(c)g(c) = 1$
提示：代入时注意 $c$ 是复数，但 $u(x), v(x)$ 的系数在 $F$ 中，因此 $u(c), v(c)$ 是复数。
步骤 3/5
目标：利用已知条件 f(c)=0
已知 $f(c)=0$，代入上式得 $u(c) \cdot 0 + v(c)g(c) = 1$，即 $v(c)g(c) = 1$。
公式：$v(c)g(c) = 1$
提示：注意 $f(c)=0$ 是已知条件，直接代入即可。
步骤 4/5
目标：推导 g(c) 非零
由 $v(c)g(c) = 1$ 可知，$g(c)$ 与 $v(c)$ 互为倒数，因此 $g(c) \neq 0$。因为如果 $g(c)=0$，则左边为0，右边为1，矛盾。
公式：若 $g(c)=0$，则 $v(c)\cdot 0 = 0 \neq 1$，矛盾
提示：注意复数域中乘法逆元存在，但这里只需非零即可。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $g(c)$ 必不等于0。
提示：结论是确定的，不是“未必等于”或“必等于”。
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