厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $F$ 是数域，
$$
\begin{aligned}
& V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\
& V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\}
\end{aligned}
$$
则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析V1的条件并化简
给定 $V_1 = \{ a x^2 + b x + c \mid a+b+c=0, a,b,c \in F \}$。由条件 $a+b+c=0$ 可得 $c = -a-b$。代入多项式得 $a x^2 + b x - a - b = a(x^2-1) + b(x-1)$。因此 $V_1 = \operatorname{span}\{x^2-1, x-1\}$。
公式：c = -a-b
提示：注意将条件转化为线性组合的形式。
步骤 2/6
目标：验证V1的基并确定维数
检查 $x^2-1$ 和 $x-1$ 是否线性无关。假设存在 $\alpha, \beta \in F$ 使得 $\alpha(x^2-1) + \beta(x-1) = 0$，即 $\alpha x^2 + \beta x - (\alpha+\beta) = 0$。比较系数得 $\alpha=0, \beta=0, -\alpha-\beta=0$，故线性无关。因此 $\{x^2-1, x-1\}$ 是 $V_1$ 的一个基，维数为 $2$。
提示：线性无关性可通过系数比较验证。
步骤 3/6
目标：分析V2的条件并化简
给定 $V_2 = \{ a x^2 + b x + c \mid a-b+c=0, a,b,c \in F \}$。由条件 $a-b+c=0$ 可得 $c = -a+b$。代入多项式得 $a x^2 + b x - a + b = a(x^2-1) + b(x+1)$。因此 $V_2 = \operatorname{span}\{x^2-1, x+1\}$，维数为 $2$。
公式：c = -a+b
提示：注意符号：$a-b+c=0$ 推出 $c = -a+b$。
步骤 4/6
目标：求V1与V2的交集
设 $p(x) = a x^2 + b x + c \in V_1 \cap V_2$，则同时满足 $a+b+c=0$ 和 $a-b+c=0$。两式相加得 $2a+2c=0$，即 $a+c=0$；两式相减得 $2b=0$，即 $b=0$。所以 $c=-a$，$b=0$。因此 $p(x) = a x^2 - a = a(x^2-1)$。
公式：a+c=0, b=0
提示：解方程组时注意加减消元。
步骤 5/6
目标：确定交集的基和维数
由 $p(x) = a(x^2-1)$ 知 $V_1 \cap V_2 = \operatorname{span}\{x^2-1\}$。$x^2-1$ 非零，故线性无关，因此维数为 $1$。
提示：注意交集是子空间，基只包含一个向量。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$\{x^2-1, x-1\}$ 是 $V_1$ 的一个基，$V_1$ 的维数为 $2$，$V_1 \cap V_2$ 的维数为 $1$。
提示：最终答案需明确基和维数。
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