厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
7．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$ ，且 $r(A)=4, r\left(A^{2}\right)=2, r(A-E)=4$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定特征值及其代数重数
由特征多项式 $\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$ 可知，矩阵 $A$ 的特征值为 $0$（代数重数 $4$）和 $1$（代数重数 $2$）。
公式：特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$
提示：注意特征多项式给出的是特征值的代数重数，不是几何重数。
步骤 2/6
目标：计算特征值0的几何重数
矩阵 $A$ 是 $6$ 阶矩阵（因为特征多项式次数为 $6$）。由 $r(A)=4$，得 $\dim\ker A = 6-4=2$，即特征值 $0$ 的几何重数为 $2$。
公式：$\dim\ker A = n - r(A)$
提示：几何重数等于零空间的维数，即 $\dim\ker(A-\lambda I)$。
步骤 3/6
目标：利用 $r(A^2)$ 分析特征值0的Jordan块结构
由 $r(A^2)=2$，得 $\dim\ker A^2 = 6-2=4$。设特征值 $0$ 的Jordan块大小分别为 $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_k$，则 $k=\dim\ker A=2$，且 $\dim\ker A^2 = k + \#\{i: d_i\ge 2\}$。代入得 $4=2+\#\{i: d_i\ge 2\}$，故 $\#\{i: d_i\ge 2\}=2$，即两个Jordan块大小均至少为 $2$。又总维数为 $4$，因此两个Jordan块大小均为 $2$。
公式：$\dim\ker A^l = \sum_{i=1}^k \min(d_i, l)$
提示：注意 $\ker A \subseteq \ker A^2$，且 $\dim\ker A^2$ 与Jordan块大小的关系。
步骤 4/6
目标：计算特征值1的几何重数
由 $r(A-E)=4$，得 $\dim\ker(A-E)=6-4=2$，即特征值 $1$ 的几何重数为 $2$。
公式：$\dim\ker(A-E) = n - r(A-E)$
提示：注意 $A-E$ 的秩计算。
步骤 5/6
目标：确定特征值1的Jordan块结构
特征值 $1$ 的代数重数为 $2$，几何重数为 $2$，故Jordan块为两个 $1\times1$ 块（即对角块）。
公式：代数重数等于几何重数时，Jordan块均为1阶。
提示：几何重数等于代数重数意味着矩阵可对角化。
步骤 6/6
目标：写出Jordan标准形
综合以上，特征值 $0$ 有两个 $2$ 阶Jordan块 $J_2(0)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，特征值 $1$ 有两个 $1$ 阶Jordan块 $1$。故Jordan标准形为 $\operatorname{diag}\left(J_2(0), J_2(0), 1, 1\right)$，即
$$\begin{pmatrix}0&1& & & & \\0&0& & & & \\ & &0&1& & \\ & &0&0& & \\ & & & &1& \\ & & & & &1\end{pmatrix}.$$
提示：注意Jordan块的排列顺序不影响标准形，但通常按特征值分组。
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