厦门大学 2020年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $V_{1}$ 的维数小于 $V_{2}$ 的维数，则 $V_{2}$ 中
$\_\_\_\_$ （选填＂必有＂＂未必有＂＂必没有＂）一非零向量正交于 $V_{1}$ 中的所有向量。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定维数
设 $\dim V_1 = r$，$\dim V_2 = s$，且 $r < s$。
提示：注意维数条件：$r < s$。
步骤 2/7
目标：考虑正交补
考虑 $V_1$ 的正交补 $V_1^\perp$，其维数为 $\dim V_1^\perp = n - r$。
公式：$\dim V_1^\perp = n - \dim V_1$
提示：正交补的维数公式：$\dim V^\perp = n - \dim V$。
步骤 3/7
目标：分析维数关系
由于 $r < s$，有 $s + (n - r) > n$。
提示：注意不等式方向：$s > r$ 推出 $s + (n - r) > n$。
步骤 4/7
目标：应用子空间交的维数定理
对于子空间 $V_2$ 和 $V_1^\perp$，有 $\dim(V_2 \cap V_1^\perp) = \dim V_2 + \dim V_1^\perp - \dim(V_2 + V_1^\perp)$。由于 $V_2 + V_1^\perp \subseteq V$，故 $\dim(V_2 + V_1^\perp) \leq n$，因此 $\dim(V_2 \cap V_1^\perp) \geq s + (n - r) - n = s - r > 0$。
公式：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W)$
提示：注意维数定理的应用，且 $U+W$ 的维数不超过 $n$。
步骤 5/7
目标：得出交集非零
因此 $V_2 \cap V_1^\perp$ 的维数大于0，即存在非零向量 $\alpha \in V_2 \cap V_1^\perp$。
提示：维数大于0意味着存在非零向量。
步骤 6/7
目标：解释几何意义
由 $\alpha \in V_1^\perp$ 知 $\alpha$ 正交于 $V_1$ 中的所有向量；由 $\alpha \in V_2$ 知 $\alpha$ 是 $V_2$ 中的向量。
提示：正交补的定义：$V_1^\perp = \{ x \in V \mid x \perp V_1 \}$。
步骤 7/7
目标：得出结论
所以 $V_2$ 中必有非零向量正交于 $V_1$ 中的所有向量。
提示：注意结论是“必有”。
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