厦门大学 2021年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，且 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus W$ ，证明：
$$
V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
设 $\dim V = n$，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，且 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus W$。要证 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi$。
提示：注意直和的定义：$V = U \oplus W$ 当且仅当 $V = U + W$ 且 $U \cap W = \{0\}$。
步骤 2/5
目标：利用维数公式建立关系
由维数公式：$\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \operatorname{Ker} \varphi$。又已知 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus W$，所以 $\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim W$。因此 $\dim W = \dim \operatorname{Ker} \varphi$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \operatorname{Ker} \varphi$
提示：维数公式适用于线性变换，注意 $\operatorname{Im} \varphi$ 和 $\operatorname{Ker} \varphi$ 的维数关系。
步骤 3/5
目标：证明 $W \subseteq \operatorname{Ker} \varphi$
任取 $w \in W$，由于 $W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，$\varphi(w) \in W$。又 $\varphi(w) \in \operatorname{Im} \varphi$，所以 $\varphi(w) \in \operatorname{Im} \varphi \cap W = \{0\}$（因为 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus W$ 是直和）。故 $\varphi(w)=0$，即 $w \in \operatorname{Ker} \varphi$。因此 $W \subseteq \operatorname{Ker} \varphi$。
公式：$\operatorname{Im} \varphi \cap W = \{0\}$
提示：利用直和的性质：交空间为零空间。
步骤 4/5
目标：由维数相等得到 $W = \operatorname{Ker} \varphi$
由第二步知 $\dim W = \dim \operatorname{Ker} \varphi$，且第三步已证 $W \subseteq \operatorname{Ker} \varphi$，所以 $W = \operatorname{Ker} \varphi$。
提示：有限维线性空间中，若子空间 $U \subseteq V$ 且 $\dim U = \dim V$，则 $U = V$。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
因为 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus W$ 且 $W = \operatorname{Ker} \varphi$，所以 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi$。
提示：注意直和分解的唯一性。
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