厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．$n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\operatorname{det} A=2$ ，交换 $A$ 的第一行和第二行得到矩阵 $B$ ，则 $\operatorname{det}\left(B A^{*}\right)=?\left(-2^{n}\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算矩阵B的行列式
已知 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\det A = 2$。交换 $A$ 的第一行和第二行得到矩阵 $B$。根据行列式的性质，交换两行行列式变号，因此 $\det B = -\det A = -2$。
公式：交换两行：$\det(B) = -\det(A)$
提示：注意交换行后行列式变号，不要忘记负号。
步骤 2/4
目标：计算伴随矩阵的行列式
设 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。由伴随矩阵的性质，$A A^* = A^* A = (\det A) I_n$。两边取行列式得 $\det(A) \det(A^*) = (\det A)^n$，因此 $\det(A^*) = (\det A)^{n-1} = 2^{n-1}$。
公式：$\det(A^*) = (\det A)^{n-1}$
提示：注意伴随矩阵的行列式公式中指数是 $n-1$，不要误写为 $n$。
步骤 3/4
目标：计算乘积的行列式
计算 $\det(B A^*)$。由行列式的乘法性质，$\det(B A^*) = \det(B) \cdot \det(A^*)$。代入已得结果：$\det(B) = -2$，$\det(A^*) = 2^{n-1}$，因此 $\det(B A^*) = (-2) \cdot 2^{n-1} = -2^n$。
公式：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
提示：注意矩阵乘法顺序不影响行列式乘积，但需确保矩阵可乘。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，$\det(B A^*) = -2^n$。
提示：最终结果应化简为 $-2^n$，注意指数 $n$ 是矩阵阶数。
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